題目 5. 求定積分 ∫24x2−4x dx。\int_2^4 \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\,dx。∫24xx2−4dx。 解答 解法一 思路 展開 根式 x2−22\sqrt{x^2-2^2}x2−22 適合令 x=2secθx=2\sec\thetax=2secθ。 代換後被積分式化成容易積分的 tan2θ\tan^2\thetatan2θ。 答題過程 展開 令 x=2secθx=2\sec\thetax=2secθ，則 x2−4=2tanθ\sqrt{x^2-4}=2\tan\thetax2−4=2tanθ、dx=2secθtanθ dθ\mathrm{d}x=2\sec\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\thetadx=2secθtanθdθ。上下限對應 000、π3\frac\pi33π，故 ∫24x2−4x dx= ∫0π/32tan2θ dθ= 2[tanθ−θ]0π/3=23−2π3.\begin{align*} \int_2^4\frac{\sqrt{x^2-4}}x\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^{\pi/3}2\tan^2\theta\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\bigl[\tan\theta-\theta\bigr]_0^{\pi/3} =\boxed{2\sqrt3-\frac{2\pi}{3}}. \end{align*}∫24xx2−4dx==∫0π/32tan2θdθ2[tanθ−θ]0π/3=23−32π.
