1. 本題要求計算一個複雜的三重積分。
2. 第一步：識別積分區域 $V$ 觀察積分上下限：
   • $-2 \le y \le 2$
   • $0 \le x \le \sqrt{4-y^2} \implies x^2+y^2 \le 4$，且限制 $x \ge 0$。
   • $-\sqrt{4-x^2-y^2} \le z \le \sqrt{4-x^2-y^2} \implies x^2+y^2+z^2 \le 4$。 這說明積分區域 $V$ 是半徑為 $2$、中心在原點的實心球體中，滿足 $x \ge 0$ 的那右半球體（半球）。
3. 第二步：球座標變換 因為被積分函數中包含 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 且積分區域為球體的一部分，因此最合適的工具是球座標系統 (Spherical Coordinates)。 球座標轉換公式為： $x = \rho \sin\phi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\phi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\phi$ 體積元為 $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\phi \,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$。 新變數範圍為：
   • $\rho$（半徑）：由 $0$ 到 $2$。
   • $\phi$（天頂角）：由 $0$ 到 $\pi$（涵蓋全部 $z$ 軸）。
   • $\theta$（方位角）：因為 $x \ge 0$，所以在第一與第四象限，範圍為 $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。
4. 第三步：代入化簡並求解 被積分函數 $y^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2} = (\rho \sin\phi \sin\theta)^2 \cdot \rho = \rho^3 \sin^2\phi \sin^2\theta$。 代入後，利用富比尼定理拆成三個獨立的一重定積分計算。過程中可利用對稱性與華理士公式（Wallis’ Formula）簡化計算。

第一步：確定積分區域與變數範圍

由題目給定的直角座標積分邊界：

• $z$ 的範圍：$-\sqrt{4-x^2-y^2} \le z \le \sqrt{4-x^2-y^2}$
• $x$ 的範圍：$0 \le x \le \sqrt{4-y^2}$
• $y$ 的範圍：$-2 \le y \le 2$

可知該立體區域為半徑 $R = 2$ 的實心球 $x^2+y^2+z^2 \le 4$ 滿足 $x \ge 0$ 的部分。

我們引入球座標變換：

此時，變數範圍轉化為：

體積元轉換為：

第二步：轉換被積分函數

原被積分函數為 $f(x, y, z) = y^2 \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。將球座標代入：

第三步：建立並計算三重積分

將所有元素代入三重積分中：

由於各變數的積分上限皆為常數，且被積分函數可拆為獨立乘積，我們可以使用富比尼定理將其拆開：

我們分別計算這三個一元積分：

1. 計算關於 $\theta$ 的積分（利用對稱性）：

   $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \,\mathrm{d}\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \,\mathrm{d}\theta = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$$

2. 計算關於 $\phi$ 的積分（利用對稱性）：

   $$\int_{0}^{\pi} \sin^3\phi \,\mathrm{d}\phi = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi \,\mathrm{d}\phi = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot 1 \right) = \frac{4}{3}$$

3. 計算關於 $\rho$ 的積分：

   $$\int_{0}^{2} \rho^5 \,\mathrm{d}\rho = \left[ \frac{1}{6}\rho^6 \right]_{0}^{2} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$

將這三部分的計算結果相乘：

因此，第 (9) 格答案為 \frac{64\pi}{9}。