1. 本題要求尋找連續函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a, b] = [0, 2]$ 上的平均值 (Average Value)。
2. 根據平均值公式，平均值 $\bar{f}$ 為： $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2-0} \int_{0}^{2} \left( \int_{x}^{2} \cos(t^2)\,\mathrm{d}t \right) \mathrm{d}x$
3. 這是一個變上限積分的定積分，本質上是一個二重積分： $\bar{f} = \frac{1}{2} \iint_{D} \cos(t^2) \,\mathrm{d}A$ 其中積分區域 $D$ 在 $x\text{-}t$ 平面上定義為： $D = \big\{ (x,t) : 0 \le x \le 2,\, x \le t \le 2 \big\}$
4. 由於 $\cos(t^2)$ 無法以初等函數表示其關於 $t$ 的原函數（無法直接對 $t$ 積分），因此處理此類積分的標準技巧是交換積分順序 (Change the Order of Integration)。
5. 將 $D$ 改寫為先對 $x$ 積分、再對 $t$ 積分的形式： $D = \big\{ (x,t) : 0 \le t \le 2,\, 0 \le x \le t \big\}$ 這樣便可以先積出 $x$，進而利用代換積分法順利完成計算。

第一步：寫出函數平均值的二重積分式

根據函數在區間上的平均值定義：

此時，我們是在 $x\text{-}t$ 平面的三角形區域 $D$ 上進行二重積分，該區域的邊界由以下不等式決定：

第二步：交換積分順序

在 $x\text{-}t$ 平面中，該區域是一個頂點在 $(0,0)$、$(0,2)$ 與 $(2,2)$ 的直角三角形。 如果我們交換積分次序，改為對 $t$ 在外層，對 $x$ 在內層進行積分，則範圍改寫為：

重新列出積分式：

第三步：分步積分計算

1. 先計算內層關於 $x$ 的積分： 因為 $\cos(t^2)$ 關於 $x$ 是常數，所以：

   $$\int_{0}^{t} \cos(t^2) \,\mathrm{d}x = \cos(t^2) \Big[ x \Big]_0^t = t\cos(t^2)$$

2. 代回外層進行關於 $t$ 的積分：

   $$\bar{f} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} t\cos(t^2) \,\mathrm{d}t$$

3. 使用代換積分法： 令 $u = t^2 \implies \mathrm{d}u = 2t \,\mathrm{d}t \implies t \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u$。 更新積分上下限：

   • 當 $t = 0$ 時，$u = 0$。
   • 當 $t = 2$ 時，$u = 4$。

   將代換式代入：

   $$\begin{align*} \bar{f} =&\, \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \cos u \cdot \left( \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \cos u \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \Big[ \sin u \Big]_0^4 \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} \big( \sin 4 - \sin 0 \big) \\[4mm] =&\, \frac{1}{4}\sin(4) \end{align*}$$

因此，第 (8) 格答案為 \frac{1}{4}\sin(4)（或寫 \frac{\sin 4}{4}）。