題目

Problem

Evaluate the integral

\iint_{R} \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \,\mathrm{d}A,

where $R$ is the region enclosed by the lines $x+y=1$ , $x+y=3$ , $y=2x$ , and $y=x/2$ .

(7) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題要求在一特定區域 $R$ 上計算二重積分 $\iint_R (1 + y/x) \,\mathrm{d}A$ 。
觀察邊界條件：
- $x+y=1$ 與 $x+y=3$ 可以整理成 $x+y = c$ 的形式。
- $y=2x$ 與 $y=x/2$ 可以整理成 $\frac{y}{x} = 2$ 與 $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ 的形式。
這強烈暗示使用**座標變換（變數變換）**來簡化積分區域與被積分函數：令： $u = x+y, \quad v = \frac{y}{x}$ 此時新變數的範圍非常簡單且互相獨立： $1 \le u \le 3, \quad \frac{1}{2} \le v \le 2$ 這將原先傾斜的平行四邊形狀區域 $R$ 映射到了 $u\text{-}v$ 平面上的矩形區域。
計算雅可比行列式 (Jacobian)：變換二重積分的面積元需乘上雅可比行列式的絕對值 $\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|$ $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}$ 。我們可以直接解出 $x$ $x$ 和 $y$ $y$ 關於 $u$ $u$ 和 $v$ $v$ 的表達式：
- $y = vx \implies x + vx = u \implies x(1+v) = u \implies x = \frac{u}{1+v}$
- $y = \frac{uv}{1+v}$ 接著計算 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 的行列式。
將被積分函數 $1 + y/x = 1 + v$ 、雅可比行列式與變數範圍代入，利用富比尼定理化為兩個獨立的一元定積分求值。

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第一步：定義變數代換與積分區域

我們令新變數為：

u = x+y, \quad v = \frac{y}{x}

根據原邊界條件 $x+y=1$ , $x+y=3$ , $y=2x$ , $y=x/2$ ，新變數的積分邊界為：

1 \le u \le 3, \quad \frac{1}{2} \le v \le 2

第二步：求反變換與雅可比行列式 (Jacobian)

由 $v = \frac{y}{x}$ 可得 $y = vx$ 。將其代入 $u = x+y$ ：

x + vx = u \implies x(1+v) = u \implies x = \frac{u}{1+v}

接著，求得 $y$ 的表達式：

y = vx = \frac{uv}{1+v}

現在，計算偏微項以建構雅可比矩陣：

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial u} =&\, \frac{1}{1+v}, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{u}{(1+v)^2} \\[4mm] \frac{\partial y}{\partial u} =&\, \frac{v}{1+v}, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{u(1+v) - uv(1)}{(1+v)^2} = \frac{u}{(1+v)^2} \end{align*}

計算雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ：

\begin{align*} J =&\, \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[3mm] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\[4mm] =&\, \begin{vmatrix} \frac{1}{1+v} & -\frac{u}{(1+v)^2} \\[3mm] \frac{v}{1+v} & \frac{u}{(1+v)^2} \end{vmatrix} \\[4mm] =&\, \left( \frac{1}{1+v} \right)\left( \frac{u}{(1+v)^2} \right) - \left( -\frac{u}{(1+v)^2} \right)\left( \frac{v}{1+v} \right) \\[4mm] =&\, \frac{u}{(1+v)^3} + \frac{uv}{(1+v)^3} \\[4mm] =&\, \frac{u(1+v)}{(1+v)^3} \\[4mm] =&\, \frac{u}{(1+v)^2} \end{align*}

由於在給定的積分區域內 $u > 0$ ，所以雅可比行列式的絕對值 $|J| = \frac{u}{(1+v)^2}$ 。因此，面積元轉換關係為：

\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{u}{(1+v)^2} \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v

第三步：代入積分式求值

原被積分函數為 $1 + \frac{y}{x} = 1 + v$ 。代入變換關係：

\begin{align*} \iint_{R} \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \,\mathrm{d}A =&\, \int_{\frac{1}{2}}^{2} \int_{1}^{3} (1+v) \cdot \frac{u}{(1+v)^2} \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\[4mm] =&\, \int_{\frac{1}{2}}^{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{1+v} \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{align*}

由於變數 $u$ 與 $v$ 的積分區間彼此獨立，我們可以將其拆為兩個一重定積分的乘積：

\begin{align*} \iint_{R} \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \,\mathrm{d}A =&\, \left( \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{1+v} \,\mathrm{d}v \right) \left( \int_{1}^{3} u \,\mathrm{d}u \right) \\[4mm] =&\, \Big[ \ln|1+v| \Big]_{\frac{1}{2}}^{2} \cdot \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{1}^{3} \\[4mm] =&\, \left( \ln 3 - \ln\frac{3}{2} \right) \cdot \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) \\[4mm] =&\, \ln\left( \frac{3}{3/2} \right) \cdot 4 \\[4mm] =&\, 4\ln 2 \end{align*}

因此，第 (7) 格答案為 4\ln 2（或寫 \ln 16）。