1. 本題要求計算函數 $f(x, y)$ 在給定點 $P(1, 2)$ 沿著向量 $\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle$ 方向的方向導數 (Directional Derivative)。
2. 第一步：求出單位方向向量 方向導數的定義要求方向向量必須是單位向量 (unit vector)。 因此，我們需要對 $\mathbf{v}$ 進行單位化： $\hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$
3. 第二步：求出梯度 計算函數的梯度向量 $\nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle$，並將點 $P(1, 2)$ 代入，得到在該點的梯度 $\nabla f(1, 2)$。
   • $f_x$ 的求導使用商法則。
   • $f_y$ 的求導使用連鎖律或商法則。
4. 第三步：求方向導數 由於 $f(x,y)$ 是可微函數，其沿著 $\hat{\mathbf{u}}$ 的方向導數可以透過梯度與單位方向向量的內積 (dot product) 來計算： $D_{\hat{\mathbf{u}}} f(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \hat{\mathbf{u}}$

第一步：單位化方向向量

給定方向向量為 $\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle$，其長度（模長）為：

因此，單位方向向量 $\hat{\mathbf{u}}$ 為：

第二步：求點 $P(1, 2)$ 的梯度 $\nabla f(1, 2)$

對函數 $f(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}$ 分別求關於 $x$ 與 $y$ 的偏導：

1. 計算偏導數 $f_x(x,y)$（利用商求導法則）：

   $$\begin{align*} f_x(x, y) =&\, \frac{1 \cdot (x^2+y^2) - x \cdot (2x)}{(x^2+y^2)^2} \\[4mm] =&\, \frac{x^2+y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} \\[4mm] =&\, \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{align*}$$

   將點 $P(1, 2)$ 代入得：

   $$f_x(1, 2) = \frac{2^2 - 1^2}{(1^2+2^2)^2} = \frac{4 - 1}{5^2} = \frac{3}{25}$$

2. 計算偏導數 $f_y(x,y)$：

   $$\begin{align*} f_y(x, y) =&\, \frac{0 \cdot (x^2+y^2) - x \cdot (2y)}{(x^2+y^2)^2} \\[4mm] =&\, \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{align*}$$

   將點 $P(1, 2)$ 代入得：

   $$f_y(1, 2) = \frac{-2(1)(2)}{(1^2+2^2)^2} = \frac{-4}{5^2} = -\frac{4}{25}$$

綜合以上，點 $P(1, 2)$ 處的梯度向量為：

第三步：求方向導數的內積值

我們計算梯度與單位方向向量的內積：

因此，第 (6) 格答案為 -\frac{7}{125}。