1. 本題給出一個複合函數 $z = f\big(g(s,t), h(s,t)\big)$，要求其對自變數 $s$ 的偏導數 $\frac{\partial z}{\partial s}$ 在點 $(s,t) = (1,2)$ 的值。
2. 核心工具是多元複合函數求導連鎖律 (Multivariable Chain Rule)。
3. 對於 $z = f(x,y)$ 且 $x,y$ 為 $s,t$ 的函數，對 $s$ 求偏導的公式為： $\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} = f_x(x, y) \cdot g_s(s, t) + f_y(x, y) \cdot h_s(s, t)$
4. 當 $s = 1, t = 2$ 時：
   • 首先求出中間變數 $x$ 與 $y$ 的對應值：$x = g(1, 2)$，$y = h(1, 2)$。
   • 將已知的偏導值 $g_s(1,2)$、$h_s(1,2)$ 與 $f_x(x,y)$、$f_y(x,y)$ 直接代入公式計算即可。

根據多元複合函數的偏導連鎖律，我們有：

現在，我們在點 $(s, t) = (1, 2)$ 處求值：

1. 求中間變數 $x$ 與 $y$： 根據題目已知條件：

   $$\begin{align*} x =&\, g(1, 2) = 3 \\[4mm] y =&\, h(1, 2) = 6 \end{align*}$$

   因此，此時對應的直角座標點為 $(x, y) = (3, 6)$。

2. 代入所有偏導數已知值： 已知：

   • $g_s(1, 2) = -1$
   • $h_s(1, 2) = -5$
   • $f_x(3, 6) = 7$
   • $f_y(3, 6) = 8$

將上述各項數值代回偏導連鎖律公式：

因此，第 (5) 格答案為 -47。