題目

Problem

Find the volume of the solid obtained by rotating about the $x$ -axis the region enclosed by the curves $y = \frac{4}{x^2+4}$ , $y=0$ , $x=0$ , and $x=2$ .

(3) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

本題要求計算平面區域繞 $x$ 軸旋轉一圈所形成的旋轉體體積。
該平面區域由曲線 $y = \frac{4}{x^2+4}$ 、底邊 $y=0$ 、左邊界 $x=0$ 與右邊界 $x=2$ 所圍成。
第一步：建立體積公式 使用圓盤法 (Disk Method)，繞 $x$ 軸旋轉的體積公式為： $V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2} \pi \left( \frac{4}{x^2+4} \right)^2 \,\mathrm{d}x$
第二步：積分求解 被積分函數中包含 $(x^2 + 4)^2$ 。面對 $x^2 + a^2$ 的形式，標準做法是使用三角代換法，令 $x = a\tan\theta$ 。這裡令 $x = 2\tan\theta$ ，微分關係為 $\mathrm{d}x = 2\sec^2 \theta \,\mathrm{d}\theta$ ，並更新積分上下限。
第三步：化簡與計算 代換後，利用三角恆等式 $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ 與餘弦倍角公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ 進行求值。

答題過程

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第一步：列出體積定積分式

根據圓盤法，旋轉體體積 $V$ 為：

V = \int_{0}^{2} \pi y^2 \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2} \pi \left( \frac{4}{x^2+4} \right)^2 \,\mathrm{d}x = 16\pi \int_{0}^{2} \frac{1}{(x^2+4)^2} \,\mathrm{d}x

第二步：三角代換法

令：

x = 2\tan\theta \implies \mathrm{d}x = 2\sec^2 \theta \,\mathrm{d}\theta

同時轉換積分上下限：

當 $x = 0$ 時， $2\tan\theta = 0 \implies \theta = 0$ 。
當 $x = 2$ 時， $2\tan\theta = 2 \implies \tan\theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4}$ 。

將這些關係式代入體積積分式中：

\begin{align*} V =&\, 16\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{(4\tan^2 \theta + 4)^2} \cdot \left( 2\sec^2 \theta \,\mathrm{d}\theta \right) \\[4mm] =&\, 16\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\big(4(\tan^2 \theta + 1)\big)^2} \cdot 2\sec^2 \theta \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 16\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{16\sec^4 \theta} \cdot 2\sec^2 \theta \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sec^2 \theta} \,\mathrm{d}theta \\[4mm] =&\, 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \,\mathrm{d}\theta \end{align*}

第三步：利用倍角公式求值

利用餘弦倍角公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ ：

\begin{align*} V =&\, 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos 2\theta) \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \pi \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\[4mm] =&\, \pi \left( \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} \right) - (0 + 0) \right) \\[4mm] =&\, \pi \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(1) \right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2 + 2\pi}{4} \end{align*}

因此，第 (3) 格答案為 \frac{\pi^2 + 2\pi}{4}（或寫 \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}）。

114 台聯大微積分 A3/A4/A6 第 3 題

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