1. 本題給出一個以變數上限積分形式定義的函數 $f(x)$，其積分上限又是另一個變數上限積分函數 $g(x)$。要求 $f'(x)$ 在 $x = \pi/4$ 的值。
2. 我們需要利用微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 與連鎖律 (Chain Rule) 來求導。
3. 對於形如 $f(x) = \int_{0}^{g(x)} H(t)\,\mathrm{d}t$ 的函數，求導公式為： $f'(x) = H\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$ 這裡的 $H(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^3}}$。
4. 同理，對於 $g(x) = \int_{0}^{\cos 2x} M(t)\,\mathrm{d}t$，其求導需要再次結合 FTC 與連鎖律： $g'(x) = M(\cos 2x) \cdot (\cos 2x)' = M(\cos 2x) \cdot (-2\sin 2x)$ 這裡的 $M(t) = 1 + \sin(t^2)$。
5. 將 $x = \pi/4$ 代入，依序求出 $g(\pi/4)$ 與 $g'(\pi/4)$，最後代回 $f'(\pi/4)$ 的一般式中即可。

第一步：求出一般導函數

根據微積分基本定理與連鎖律，我們對 $f(x)$ 關於 $x$ 求導：

接著，對內層函數 $g(x) = \int_{0}^{\cos 2x} \big[1 + \sin(t^2)\big]\,\mathrm{d}t$ 關於 $x$ 求導：

第二步：將 $x = \frac{\pi}{4}$ 代入計算

1. 計算 $\cos 2x$ 與 $\sin 2x$：

   $$\begin{align*} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) =&\, \cos\frac{\pi}{2} = 0 \\[4mm] \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) =&\, \sin\frac{\pi}{2} = 1 \end{align*}$$

2. 計算 $g(\frac{\pi}{4})$： 將上述 $\cos 2x = 0$ 代回 $g(x)$ 的定義中：

   $$g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_{0}^{0} \big[1 + \sin(t^2)\big]\,\mathrm{d}t = 0$$

3. 計算 $g'(\frac{\pi}{4})$： 將 $\cos 2x = 0$ 與 $\sin 2x = 1$ 代入式 (2)：

   $$\begin{align*} g'\left(\frac{\pi}{4}\right) =&\, \big[1 + \sin(0^2)\big] \cdot (-2 \cdot 1) \\[4mm] =&\, (1 + 0) \cdot (-2) \\[4mm] =&\, -2 \end{align*}$$

4. 計算 $f'(\frac{\pi}{4})$： 將 $g(\frac{\pi}{4}) = 0$ 與 $g'(\frac{\pi}{4}) = -2$ 代回式 (1)：

   $$\begin{align*} f'\left(\frac{\pi}{4}\right) =&\, \frac{1}{\sqrt{1 + g^3(\pi/4)}} \cdot g'\left(\frac{\pi}{4}\right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{1 + 0^3}} \cdot (-2) \\[4mm] =&\, 1 \cdot (-2) \\[4mm] =&\, -2 \end{align*}$$

因此，第 (2) 格答案為 -2。