1. 本題要求計算一個涉及反三角函數的有理瑕積分。
2. 面對反三角函數 $\tan^{-1} x$ 乘上冪函數 $x^{-2}$ 的積分，標準的解題工具是分部積分法 (Integration by Parts)： $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \,\mathrm{d}u$
   • 根據「LIATE」原則，反三角函數優先設為 $u$，代數函數設為 $\mathrm{d}v$。
   • 令 $u = \tan^{-1} x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm{d}x$。
   • 令 $\mathrm{d}v = x^{-2} \,\mathrm{d}x \implies v = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$。
3. 利用分部積分展開後：
   • 第一部分 $uv$ 取極限值。
   • 第二部分 $\int v\,\mathrm{d}u = \int \frac{1}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$，這正好是前一小題 第 2(a) 題 (Q13) 的計算對象！
4. 結合前一小題的計算結果，即可迅速且準確地得出最終答案。

根據分部積分法，我們先計算對應的不定積分。 令：

套用分部積分公式：

導入瑕積分極限計算

根據定義，將積分區間 $[1, \infty)$ 寫為極限形式：

接下來我們分項計算這兩個極限值：

1. 第一項極限值： 當 $b \to \infty$ 時，分子的反正切函數收斂於 $\frac{\pi}{2}$，而分母趨近於無窮大：

   $$\lim_{b \to \infty} -\frac{\tan^{-1} b}{b} = -\frac{\pi/2}{\infty} = 0$$

   因此第一項結果為：

   $$0 - \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4}$$

2. 第二項定積分： 此部分即為 第 2(a) 題 (Q13) 的解答。由該題結果可知：

   $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x+x^3} \,\mathrm{d}x = \frac{\ln 2}{2}$$

第三步：加總求值

將兩部分代回原式相加：

因此，答案為 \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2}（或寫成 \frac{\pi + 2\ln 2}{4}）。