題目

Problem

Evaluate the integral

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x + x^3} \,\mathrm{d}x.

(13) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題要求計算一個上限為無窮大的第一類瑕積分 (Improper Integral)。
積分的被積分函數為有理分式 $\frac{1}{x(1+x^2)}$ 。面對有理分式，最常規且通用的解法是部分分式法 (Partial Fraction Decomposition)。
我們將分式拆解為： $\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$
利用待定係數法求出 $A, B, C$ 。
接著對拆解後的兩部分分別求定積分，再取極限求得瑕積分的值。

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第一步：部分分式拆解

我們將被積分式設為：

\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}

通分通分母後，分子應恆等相等：

1 = A(1+x^2) + (Bx+C)x \implies 1 = (A+B)x^2 + Cx + A

比較等號兩側對應項的係數，得到方程組：

\begin{align*} \begin{cases} A+B = 0 \\[2mm] C = 0 \\[2mm] A = 1 \end{cases} \end{align*}

解得：

A = 1, \quad B = -1, \quad C = 0

因此，被積分分式可拆解為：

\frac{1}{x+x^3} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}

第二步：求不定積分

\begin{align*} \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \right) \mathrm{d}x =&\, \int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_0 \\[4mm] =&\, \ln\left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) + C_0 \end{align*}

第三步：計算定積分與極限值

根據瑕積分的定義：

\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x + x^3} \,\mathrm{d}x =&\, \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \left[ \ln\left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \right]_{1}^{b} \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \left( \ln\left( \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \right) - \ln\left( \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} \right) \right) \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \ln\left( \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}} \right) - \ln\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\[4mm] =&\, \ln(1) - \left( -\frac{1}{2}\ln 2 \right) \\[4mm] =&\, 0 + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{\ln 2}{2} \end{align*}

因此，答案為 \frac{\ln 2}{2}。

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這是一個非常巧妙且常出現在微積分考試中的「倒數代換」變形。
我們將分子與分母同時除以 $x^3$ （或分子分母同乘 $x^{-3}$ ）： $\frac{1}{x+x^3} = \frac{x^{-3}}{x^{-2}+1}$
這樣一來，分母 $x^{-2}+1$ 的導數為 $-2x^{-3}$ ，剛好與分子上的 $x^{-3}$ 只差一個常數倍數！
因此，我們可以令 $u = x^{-2}$ （或 $u = x^{-2}+1$ ）進行代換積分，大幅簡化積分過程，避免了繁瑣的部分分式拆解。

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我們將被積分函數進行代數整理：

\frac{1}{x+x^3} = \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{x^{-3}}{x^{-2}+1}

令代換變數為：

u = x^{-2} \implies \mathrm{d}u = -2x^{-3} \,\mathrm{d}x \implies x^{-3} \,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{d}u

同時轉換積分上下限：

將其代入原定積分中（注意積分上下限會因為負號而對調）：

\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x + x^3} \,\mathrm{d}x =&\, \int_{1}^{0} \frac{1}{u+1} \cdot \left( -\frac{1}{2} \,\mathrm{d}u \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{u+1} \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \Big[ \ln|u+1| \Big]_{0}^{1} \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \big( \ln 2 - \ln 1 \big) \\[4mm] =&\, \frac{\ln 2}{2} \end{align*}

因此，答案為 \frac{\ln 2}{2}（或寫成 \ln\sqrt{2}）。