1. 本題要求找出冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n 4^n}$ 的收斂區間 (Interval of Convergence)。
2. 尋找冪級數收斂半徑與區間的標準工具是比值審斂法 (Ratio Test)。
3. 我們令第 $n$ 項為 $a_n(x) = \frac{(x+2)^n}{n 4^n}$，並求相鄰項比值絕對值的極限： $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right|$
4. 根據比值審斂法，當 $L < 1$ 時級數絕對收斂，當 $L > 1$ 時級數發散。解不等式 $L < 1$ 可求得初步的開放區間。
5. 端點分析（重要步驟）： 當 $L = 1$ 時，比值審斂法失效。我們必須單獨將兩個端點值代入原冪級數中，判斷其常數級數的收斂或發散性。
6. 將收斂的端點納入，即可得到最終的收斂區間。

我們令冪級數的第 $n$ 項為：

第一步：使用比值審斂法 (Ratio Test) 尋找收斂範圍

我們計算相鄰兩項之比值絕對值在 $n \to \infty$ 時的極限：

根據比值審斂法，級數收斂的條件為此極限值小於 $1$：

因此，該級數的收斂半徑為 $R = 4$，初步收斂區間的內部為 $(-6, 2)$。

第二步：個別測試端點的收斂性

我們需要單獨檢驗兩個邊界端點 $x = -6$ 與 $x = 2$：

1. 當 $x = -6$ 時： 將其代回原級數中：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-6+2)^n}{n 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n}{n 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$$

   此級數為交錯諧和級數 (Alternating Harmonic Series)。 使用交錯級數審斂法 (Alternating Series Test) 判定：

   • $b_n = \frac{1}{n} > 0$ 且為單調遞減趨於 $0$（即 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$）。
   • 因此，該交錯級數收斂。故端點 $x = -6$ 應包含在收斂區間內。

2. 當 $x = 2$ 時： 將其代回原級數中：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2+2)^n}{n 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n 4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

   此級數為標準的諧和級數 (Harmonic Series)（即 $p$-級數在 $p=1$ 時的形式）。 因為諧和級數已知為發散，故端點 $x = 2$ 不包含在收斂區間內。

第三步：結論

綜合以上結果，原冪級數的收斂區間為：