1. 本題明確要求使用積分審斂法 (Integral Test) 來判斷級數 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$ 的收斂性。
2. 積分審斂法的使用前提： 若函數 $f(x)$ 在區間 $[2, \infty)$ 上滿足正值 (positive)、連續 (continuous) 且遞減 (decreasing)，則無窮級數 $\sum_{n=2}^{\infty} f(n)$ 與相應的瑕積分 $\int_{2}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ 具有相同的收斂或發散性。
3. 我們令 $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}$，並簡要說明其在 $[2, \infty)$ 上滿足上述三個前提。
4. 計算瑕積分： $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}} \,\mathrm{d}x$ 利用變數代換法，令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$，將積分化為 $\int u^{-1/2}\,\mathrm{d}u$ 求值。
5. 根據瑕積分的極限結果（收斂或發散），得出級數的收斂性結論。

我們考慮與級數對應的實數函數：

第一步：驗證積分審斂法的前提條件

在區間 $[2, \infty)$ 上：

1. 正值性：當 $x \ge 2$ 時，$x > 0$ 且 $\ln x \ge \ln 2 > 0$，故 $f(x) > 0$ 恆成立。
2. 連續性：分母的 $x$ 與 $\sqrt{\ln x}$ 在 $x \ge 2$ 上皆為連續且非零，故 $f(x)$ 為連續函數。
3. 遞減性：由於 $x$ 與 $\sqrt{\ln x}$ 在 $x \ge 2$ 上均為嚴格單調遞增函數，兩者相乘之分母亦為嚴格單調遞增，故其倒數 $f(x)$ 在 $x \ge 2$ 上為嚴格單調遞減函數。

因此，$f(x)$ 完全符合積分審斂法的前設條件。

第二步：計算對應的瑕積分

我們計算以下瑕積分：

使用代換積分法，令：

當 $x = 2$ 時，$u = \ln 2$；當 $x = b$ 時，$u = \ln b$。將代換式代入：

此時，我們取 $b \to \infty$ 的極限值：

第三步：結論

由於瑕積分 $\displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}} \,\mathrm{d}x$ 發散，根據積分審斂法（Integral Test），原無窮級數：

亦為發散 (divergent)。