1. 本題要求計算二維向量場 $\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle$ 沿著閉合曲線 $C$ 的線積分 $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y$。
2. 觀察積分路徑 $C$：
   • $C$ 是一條三角形路徑，起點在 $(0,0)$，依序經過 $(1,1)$、$(0,1)$，最後回到 $(0,0)$。
   • 這是一條分段光滑的簡單閉合曲線，其方向為逆時針方向 (Counter-Clockwise, CCW)。
3. 由於被積分向量場 $\mathbf{F}$ 直接沿路徑積分較為繁瑣（特別是 $\sqrt{x^2+1}$ 的積分），且路徑是閉合的，這強烈暗示我們使用格林定理 (Green’s Theorem) 將線積分轉為二重積分： $\oint_{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A$ 其中 $D$ 是由三角形 $C$ 圍成的平面區域。
4. 計算偏微項：
   • $P(x, y) = \sqrt{x^2+1} \implies \frac{\partial P}{\partial y} = 0$（因為不含 $y$）。
   • $Q(x, y) = \tan^{-1} x \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{1+x^2}$。 因此二重積分的被積分函數簡化為 $\frac{1}{1+x^2}$，這比原來的線積分容易計算得多。
5. 確定二重積分區域 $D$： 三角形的三條邊界為 $y = x$、$y = 1$ 與 $x = 0$。 我們可以將 $D$ 表達為類型 I 區域：$0 \le x \le 1$，$x \le y \le 1$。
6. 列式計算二重積分即可。

第一步：使用格林定理轉化為二重積分

給定向量場的元件為：

我們計算它們的偏導數：

積分路徑 $C$ 是由點 $(0,0) \to (1,1) \to (0,1) \to (0,0)$ 構成的三角形邊界。在平面直角座標系中，該路徑是以逆時針方向包圍區域 $D$ 的閉曲線。

根據格林定理：

第二步：設定二重積分範圍並計算

三角形區域 $D$ 的三個頂點為 $(0,0)$、$(1,1)$ 與 $(0,1)$。 其邊界方程式分別為：

• 斜邊：$y = x$
• 頂部水平邊：$y = 1$
• 左側垂直邊：$x = 0$

我們將此區域表達為先對 $y$ 積分、再對 $x$ 積分：

列出累次積分式並計算：

因此，第 (10) 格答案為 \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2（或寫成 \frac{\pi - 2\ln 2}{4}）。