1. 當 $x \to 0$ 時，分子 $\sqrt{1 + \tan 3x} - \sqrt{1 + \sin 3x} \to 1 - 1 = 0$，分母 $x^3 \to 0$，這是一個 $\frac{0}{0}$ 不定型。
2. 對於包含根式差 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 的極限，我們可以使用有理化將其化簡。
3. 分子分母同乘以共軛項 $\sqrt{1 + \tan 3x} + \sqrt{1 + \sin 3x}$： $$\begin{align*} \frac{\sqrt{1 + \tan 3x} - \sqrt{1 + \sin 3x}}{x^3} =&\, \frac{(1 + \tan 3x) - (1 + \sin 3x)}{x^3 \Big( \sqrt{1 + \tan 3x} + \sqrt{1 + \sin 3x} \Big)} \\[4mm] =&\, \frac{\tan 3x - \sin 3x}{x^3 \Big( \sqrt{1 + \tan 3x} + \sqrt{1 + \sin 3x} \Big)} \end{align*}$$
4. 當 $x \to 0$ 時，括弧內的共軛項趨近於 $1 + 1 = 2$。因此我們只需要求出主要部分 $\lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x - \sin 3x}{x^3}$ 的極限。
5. 為了計算 $\tan 3x - \sin 3x$ 的極限，我們可以使用三角恆等式展開，或者利用常用的麥克勞林級數（泰勒級數）展開：
   • $\tan u = u + \frac{1}{3}u^3 + \mathcal{O}(u^5)$
   • $\sin u = u - \frac{1}{6}u^3 + \mathcal{O}(u^5)$
6. 將 $u = 3x$ 代入展開式，便能消去低階項，快速求得結果。

首先，將極限式的分子進行有理化：

接著，我們利用麥克勞林級數展開式來求 $\tan 3x - \sin 3x$ 在 $x \to 0$ 時的近似式。 已知當 $u \to 0$ 時：

將 $u = 3x$ 代入上述公式：

將兩者相減：

將此結果代回極限式：

因此，第 (1) 格答案為 \frac{27}{4}。