1. 本題要求找出 $f(x) = \frac{x}{3+2x}$ 以 $a=0$ 為中心（即麥克勞林級數 Maclaurin Series）的泰勒展開式，並求其收斂半徑。
2. 看到有理分式 $\frac{A}{B+Cx}$，我們直覺會聯想到最基本的幾何級數（等比級數）展開式： $\frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots$ 其收斂條件為 $|u| < 1$。
3. 我們可以將原函數進行代數變形，使其湊出上述幾何級數的骨架： $f(x) = x \cdot \frac{1}{3 + 2x} = \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{2}{3}x\right)}$
4. 令 $u = -\frac{2}{3}x$，套用幾何級數展開公式即可。
5. 收斂半徑則由收斂條件 $|u| < 1 \implies \left|-\frac{2}{3}x\right| < 1$ 解出 $|x| < R$ 中的 $R$。

首先，我們將函數 $f(x)$ 進行代數整理，將分母提取常數 $3$，以湊出幾何級數 $\frac{1}{1-u}$ 的標準形式：

已知幾何級數的展開式為：

我們令 $u = -\frac{2}{3}x$ 代入展開式中：

這就是 $f(x)$ 在 $a=0$ 處的泰勒級數。我們也可以寫成展開的前幾項形式：

確定收斂半徑：

此幾何級數的收斂條件為 $|u| < 1$，即：

因此，該冪級數的收斂區間為 $\left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$，收斂半徑（Radius of convergence）為：

結論：

• 泰勒級數為 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{3^{n+1}} x^{n+1}$。
• 收斂半徑為 $\displaystyle \frac{3}{2}$。