題目

Problem

Find the domain of the following function:

f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x-1)}.

(8) $\underline{\quad(8)\quad}$ .

解答

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本題要求找出實數函數 $f(x)$ 的定義域 (Domain)，即所有使函數有意義的實數 $x$ 集合。
函數由分子 $\sqrt{4-x^2}$ $4 - x^{2}$ 與分母 $\ln(x-1)$ $ln (x - 1)$ 組成，我們必須同時滿足以下三個數學限制條件：
- 條件一（根號內部非負）：偶次方根底數必須大於或等於 $0$ ，即 $4-x^2 \ge 0$ 。
- 條件二（對數真數為正）：對數函數的真數必須大於 $0$ ，即 $x-1 > 0$ 。
- 條件三（分母不為零）：分母全體不能為 $0$ ，即 $\ln(x-1) \neq 0$ 。
求出這三個條件的交集（即同時滿足），即可得出最終的定義域。

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我們分步求解三個限制條件：

1. 條件一：分子偶次方根限制 分子為 $\sqrt{4-x^2}$ ，根號內的式子必須為非負實數：

\begin{align*} 4 - x^2 \ge&\, 0 \\[4mm] x^2 \le&\, 4 \\[4mm] -2 \le x \le&\, 2 \implies x \in [-2, 2] \end{align*}

2. 條件二：分母對數真數限制 分母包含對數項 $\ln(x-1)$ ，其真數（對數內部）必須嚴格大於 $0$ ：

\begin{align*} x - 1 >&\, 0 \\[4mm] x >&\, 1 \implies x \in (1, \infty) \end{align*}

3. 條件三：分母非零限制 作為分母的對數項不能為 $0$ ：

\begin{align*} \ln(x - 1) \neq&\, 0 \\[4mm] x - 1 \neq&\, e^0 \\[4mm] x - 1 \neq&\, 1 \\[4mm] x \neq&\, 2 \end{align$$

綜合以上三個條件，求其交集：

我們需要同時滿足：

得到交集區間為：

x \in (1, 2)

因此，函數的定義域為 $\{x \mid 1 < x < 2\}$ （或寫成開區間 $(1, 2)$ ）。

第 (8) 格答案為 (1, 2)（或 {x | 1 < x < 2}）。