1. 本題要求在一個矩形區域 $R = [0, 3] \times [0, 2]$ 上計算二重積分。
2. 觀察被積分函數 $20x^2 e^{-y}$，它可以拆寫為獨立變數的乘積形式，即 $f(x, y) = g(x) \cdot h(y)$，其中 $g(x) = 20x^2$，$h(y) = e^{-y}$。
3. 根據富比尼定理 (Fubini’s Theorem)，在矩形區域上，若被積分函數是獨立變數的乘積形式，則該二重積分可以直接拆成兩個一重定積分的乘積： $\iint_{R} g(x)h(y)\,\mathrm{d}A = \left( \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x \right) \left( \int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y \right)$
4. 分別求出這兩個簡單的一元定積分並相乘，即可快速得到答案。

根據富比尼定理，我們將二重積分拆為兩個一重定積分的乘積：

接下來分別計算這兩個積分：

1. 計算關於 $x$ 的積分： $$\int_{0}^{3} x^2 \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{3} = \frac{1}{3}(27) - 0 = 9$$
2. 計算關於 $y$ 的積分： $$\int_{0}^{2} e^{-y} \,\mathrm{d}y = \left[ -e^{-y} \right]_{0}^{2} = -e^{-2} - (-e^0) = 1 - e^{-2}$$

將兩個積分結果乘回原式中：

因此，第 (7) 格答案為 180(1 - e^{-2})（或寫 180 - \frac{180}{e^2}）。