1. 本題要求將循環小數 $2.\overline{21}$ 轉換為最簡分數形式。
2. 令 $x = 2.\overline{21}$。因為循環節的長度是 $2$ 位數（21 循環），我們可以將 $x$ 乘以 $10^{2} = 100$ 倍，使小數部分完全對齊。
3. 用 $100x$ 減去 $x$，即可消去無窮延伸的循環小數部分，化為簡單的一元一次方程式求出 $x$。
4. 最後將分數約分至最簡。

令：

將 $x$ 乘以 $100$：

將兩式相減以消去循環部分：

解得 $x$：

觀察分子與分母，它們都可以被 $3$ 整除，分子分母同除以 $3$ 進行約分：

因此，第 (5) 格答案為 \frac{73}{33}。

1. 循環小數本質上是一個無窮等比級數。
2. 我們可以將 $2.\overline{21}$ 拆解為整數部分與無窮項之和： $2.\overline{21} = 2 + \frac{21}{100} + \frac{21}{10000} + \frac{21}{1000000} + \cdots$
3. 其中，從第二項開始是一個首項 $a = \frac{21}{100}$，公比 $r = \frac{1}{100}$ 的無窮等比級數。
4. 利用無窮等比級數求和公式 $S = \frac{a}{1-1/r}$（當 $|r| < 1$ 時）求出和，再加上整數 $2$ 即可。

我們將循環小數寫成求和形式：

後方的求和部分為首項 $a = \frac{21}{100}$，公比 $r = \frac{1}{100}$ 的無窮等比級數。由於公比 $|r| = \frac{1}{100} < 1$，此級數收斂，其和為：

將此結果加回整數部分 $2$：

因此，第 (5) 格答案為 \frac{73}{33}。