1. 本題要求尋找並分類二元函數 $f(x,y)$ 的所有臨界點。
2. 第一步：尋找臨界點 我們求出偏導數 $f_x(x,y)$ 與 $f_y(x,y)$，並令它們同時等於 $0$，聯立求解得出所有可能點 $(x, y)$。
3. 第二步：臨界點分類 我們利用二階偏導數判別法 (Second Derivative Test for two variables)。 計算二階偏導數 $f_{xx}$、$f_{yy}$、$f_{xy}$，並建構判別式（黑塞矩陣行列式）： $D(x, y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，則該點為局部極小點 (local minimum)。
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，則該點為局部極大點 (local maximum)。
   • 若 $D < 0$，則該點為鞍點 (saddle point)。
   • 若 $D = 0$，判別法失效。

第一步：尋找臨界點

我們分別對 $x$ 與 $y$ 求偏導數：

令偏導數同時為 $0$，得到聯立方程式：

由式 (2) 可得關係式：

將 $y = -3x$ 代回式 (1) 中：

求解可得 $x = 0$ 或 $x = -6$。

• 當 $x = 0$ 時，$y = -3(0) = 0$。得到第一個臨界點：$(0, 0)$。
• 當 $x = -6$ 時，$y = -3(-6) = 18$。得到第二個臨界點：$(-6, 18)$。

第二步：利用二階偏導數判別法分類

我們求出所有的二階偏導數：

建構判別式 $D(x, y)$：

現在，我們分別對兩個臨界點進行判別分類：

1. 對於點 $(0, 0)$：

   $$D(0, 0) = -12(0) - 36 = -36 < 0$$

   由於 $D < 0$，故 $(0, 0)$ 處發生鞍點 (saddle point)。

2. 對於點 $(-6, 18)$：

   $$D(-6, 18) = -12(-6) - 36 = 72 - 36 = 36 > 0$$

   此時 $D > 0$，我們需進一步檢查 $f_{xx}$ 的正負號：

   $$f_{xx}(-6, 18) = 6(-6) = -36 < 0$$

   由於 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，說明函數在此處向下彎曲，故 $(-6, 18)$ 處發生局部極大值 (local maximum)。

   該局部極大值大小為：

   $$\begin{align*} f(-6, 18) =&\, (-6)^3 - 6(-6)(18) - (18)^2 \\[4mm] =&\, -216 + 648 - 324 \\[4mm] =&\, 108 \end{align*}$$

綜上所述，臨界點分類結果為：

• $(0,0)$ 為鞍點 (saddle point)。
• $(-6,18)$ 為局部極大點 (local maximum)，其局部極大值為 $108$。