題目

Problem

Find the following integral

\int e^{x^3} x^2 \,\mathrm{d}x = \underline{\quad(3)\quad}.

解答

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觀察被積分函數 $e^{x^3} x^2$ 。指數部分是 $x^3$ ，其導數為 $3x^2$ 。
剛好外面有一項 $x^2$ ，這與 $x^3$ 的導數只差一個常數倍數，因此非常適合使用代換積分法 (u-substitution)。
令 $u = x^3$ ，則其微元關係為 $\mathrm{d}u = 3x^2 \,\mathrm{d}x \implies x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \,\mathrm{d}u$ 。
將積分變數代換為 $u$ 後，求得基本積分，最後再將 $u = x^3$ 代回。

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我們採用變數代換法，令：

u = x^3

對等號兩邊微分，得到微元關係：

\mathrm{d}u = 3x^2 \,\mathrm{d}x \implies x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \,\mathrm{d}u

將上述關係式代入原不定積分中：

\begin{align*} \int e^{x^3} x^2 \,\mathrm{d}x =&\, \int e^u \cdot \left( \frac{1}{3} \,\mathrm{d}u \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{3} \int e^u \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{3} e^u + C \end{align*}

最後，將 $u = x^3$ 代回，得到關於原變數 $x$ 的結果：

\begin{align*} \frac{1}{3} e^{x^3} + C \end{align*}

其中 $C$ 為任意常數。

因此，第 (3) 格答案為 \frac{1}{3} e^{x^3} + C（或寫 \frac{e^{x^3}}{3} + C）。