1. 本題給出一個複合函數 $F(x) = f(g(x))$，要求其在 $x = \pi/6$ 處的導數。
2. 核心工具是連鎖律 (Chain Rule)。對複合函數求導的公式為 $F'(x) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$。
3. 這裡的內層函數為 $g(x) = \ln(2\sin x)$，其求導需再次使用連鎖律與對數、三角函數的導數公式： $g'(x) = \frac{1}{2\sin x} \cdot (2\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$
4. 求出 $F'(x)$ 的一般式後，將 $x = \pi/6$ 代入，並配合已知條件 $f'(0) = 2$ 即可求得結果。

首先對複合函數 $F(x) = f\big(\ln(2\sin x)\big)$ 利用連鎖律求導：

接著，我們將 $x = \frac{\pi}{6}$ 代入上式中：

1. 計算內層函數在 $x = \frac{\pi}{6}$ 的值： $$\ln\Big(2\sin\frac{\pi}{6}\Big) = \ln\Big(2 \cdot \frac{1}{2}\Big) = \ln(1) = 0$$
2. 計算三角函數部分在 $x = \frac{\pi}{6}$ 的值： $$\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$$

將這些數值與已知條件 $f'(0) = 2$ 代回 $F'(x)$：

因此，第 (2) 格答案為 2\sqrt{3}。