1. 本題是經典的極值最佳化問題。我們需要將問題轉化為數學函數，並利用導數尋找極值點。
2. 第一步：建立體積函數 設從正方形紙板四個角剪下的正方形邊長為 $x$（英吋）。 由於原紙板邊長為 $10$ 英吋，剪掉四個角並折起後：
   • 盒子的高為 $x$。
   • 盒子的長與寬皆為 $10 - 2x$。
   • 根據實際物理限制，邊長必須大於 $0$ 且剪掉的部分不能超過一半，故定義域為 $0 < x < 5$。
   • 盒子的體積函數為 $V(x) = \text{高} \times \text{長} \times \text{寬} = x(10-2x)^2$。
3. 第二步：求導數並尋找臨界點 對 $V(x)$ 求導得 $V'(x)$，並令其為 $0$ 解出臨界點。
4. 第三步：利用二階導數檢定法驗證極大值 計算二階導數 $V''(x)$，確認在該臨界點處為極大值（即 $V'' < 0$）。
5. 第四步：得出盒子的尺寸（長 $\times$ 寬 $\times$ 高）與最大體積。

第一步：建立體積函數

設從正方形紙板四角切下的正方形邊長為 $x$ 英吋。 根據物理實際情況，折起後盒子的尺寸為：

• 高度：$x$ 英吋
• 長度：$10 - 2x$ 英吋
• 寬度：$10 - 2x$ 英吋

限制條件要求高與寬皆大於 $0$：

盒子的體積函數 $V(x)$ 為：

第二步：求導以尋找臨界點

我們對體積函數 $V(x)$ 求一階導數：

令 $V'(x) = 0$，解得臨界點為：

由於定義域為 $0 < x < 5$，故 $x = 5$ 不合，唯一的物理臨界點為 $x = \frac{5}{3}$。

第三步：驗證極大值

我們求二階導數 $V''(x)$ 來驗證是否為最大值：

將 $x = \frac{5}{3}$ 代回二階導數中：

由於 $V''\left(\frac{5}{3}\right) < 0$，說明函數在此處向下凹，因此當 $x = \frac{5}{3}$ 時，體積 $V(x)$ 達到局部極大值。因為這是在開區間 $(0,5)$ 內的唯一臨界點，它也就是該區間內的最大值點。

第四步：計算尺寸與最大體積

當 $x = \frac{5}{3}$ 時：

• 盒子高度為： $x = \frac{5}{3} \text{ 英吋}$
• 盒子長度與寬度為： $10 - 2x = 10 - 2\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{20}{3} \text{ 英吋}$

此時的最大體積為：

結論： 當盒子尺寸為：

• 長 $\times$ 寬 $\times$ 高 = $\displaystyle \frac{20}{3} \times \frac{20}{3} \times \frac{5}{3}$ 英吋

此時盒子擁有最大體積為 $\displaystyle \frac{2000}{27}$ 立方英吋。