題目

Problem

Use the separation of variables to solve the following differential equation:

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 2(100 - Q), \quad t \ge 0,

with the initial condition $Q(0) = 3$ .

(10) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

展開

本題要求求解一個一階常微分方程，並給出初值條件 $Q(0) = 3$ 。
題目已經明確指示使用分離變數法 (separation of variables)。
我們將所有含 $Q$ 的項移到等號左邊，含 $t$ 的項移到等號右邊： $\frac{1}{100 - Q} \,\mathrm{d}Q = 2 \,\mathrm{d}t$
對兩邊同時進行不定積分，求出通解（包含常數 $C$ ）。
利用初值條件 $Q(0) = 3$ 解出常數 $C$ （或其指數化常數 $K$ ），從而求出特解。

展開

首先，將微分方程兩邊的變數進行分離：

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} =&\, 2(100 - Q) \\[4mm] \frac{1}{100 - Q} \,\mathrm{d}Q =&\, 2 \,\mathrm{d}t \end{align*}

對兩邊同時積分：

\begin{align*} \int \frac{1}{100 - Q} \,\mathrm{d}Q =&\, \int 2 \,\mathrm{d}t \\[4mm] -\ln|100 - Q| =&\, 2t + C_1 \end{align*}

將負號移至右邊，並取指數消除對數：

\begin{align*} \ln|100 - Q| =&\, -2t - C_1 \\[4mm] |100 - Q| =&\, e^{-2t - C_1} = e^{-C_1} e^{-2t} \\[4mm] 100 - Q =&\, \pm e^{-C_1} e^{-2t} \end{align*}

令常數 $K = \pm e^{-C_1}$ （ $K$ 為任意非零常數；若 $100-Q=0$ 即 $Q=100$ 也是微分方程的平衡解，此時對應 $K=0$ ，因此 $K$ 可為任意實數）：

\begin{align*} 100 - Q =&\, K e^{-2t} \\[4mm] Q(t) =&\, 100 - K e^{-2t} \end{align*}

這是一階微分方程的通解。

利用初值條件求解特解：

已知當 $t = 0$ 時， $Q(0) = 3$ ，代回通解中：

\begin{align*} Q(0) =&\, 100 - K e^0 \\[4mm] 3 =&\, 100 - K \\[4mm] K =&\, 97 \end{align*}

將 $K = 97$ 代回通解中，得到特解：

Q(t) = 100 - 97e^{-2t}

結論： 特解為 $Q(t) = 100 - 97e^{-2t}$ 。

展開

將原微分方程整理成標準一階線性微分方程的形式： $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + P(t)Q = g(t)$ 即： $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + 2Q = 200$
這裡的 $P(t) = 2$ ，因此積分因子（Integrating Factor）為： $I(t) = e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t} = e^{\int 2\,\mathrm{d}t} = e^{2t}$
將方程式兩邊同乘積分因子 $I(t)$ ，左式即可合併為積的微分公式： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Big( Q e^{2t} \Big) = 200 e^{2t}$
兩邊同時對 $t$ 積分求出通解，再帶入初值 $Q(0)=3$ 求得特解。

展開

將原方程展開並整理：

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} =&\, 200 - 2Q \\[4mm] \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + 2Q =&\, 200 \end{align*}

此為標準的一階線性微分方程，其積分因子為：

I(t) = e^{\int 2\,\mathrm{d}t} = e^{2t}

方程式兩邊同乘以 $e^{2t}$ ：

\begin{align*} e^{2t} \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} + 2e^{2t} Q =&\, 200 e^{2t} \\[4mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Big( Q(t) e^{2t} \Big) =&\, 200 e^{2t} \end{align*}

對兩邊關於 $t$ 進行積分：

\begin{align*} Q(t) e^{2t} =&\, \int 200 e^{2t} \,\mathrm{d}t \\[4mm] Q(t) e^{2t} =&\, 100 e^{2t} + C \end{align*}

兩邊同除以 $e^{2t}$ （即同乘 $e^{-2t}$ ），得到通解：

Q(t) = 100 + C e^{-2t}

利用初值條件求解特解：

將 $t=0, Q(0)=3$ 代入通解中：

\begin{align*} 3 =&\, 100 + C e^{0} \\[4mm] 3 =&\, 100 + C \\[4mm] C =&\, -97 \end{align*}

將 $C = -97$ 代回，得到特解：

Q(t) = 100 - 97e^{-2t}

結論： 特解為 $Q(t) = 100 - 97e^{-2t}$ 。