CalcGospel 微積分福音
返回

114 台聯大微積分 A2 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

114學年度 · 114微積分A2 · 第 1 題

題目

Problem

Evaluate

lim⁡n→∞n+1+nn(n+1−n)=(1)‾.\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \underline{\quad(1)\quad}.

解答

解法一

思路

展開
  1. 當 n→∞n \to \infty 時，分子 n+1+n→∞\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty，分母為 n⋅(n+1−n)n \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})。其中 n+1−n\sqrt{n+1} - \sqrt{n} 屬於 ∞−∞\infty - \infty 的不定型，乘上 nn 之後無法直接判斷極限值。
  2. 處理根式相減造成的 ∞−∞\infty - \infty 不定型，標準做法是有理化。
  3. 我們將分子與分母同時乘以分母根式差的共軛項，即 n+1+n\sqrt{n+1} + \sqrt{n}，從而消除分母的根式差。
  4. 化簡後消去公因子，再求無窮大處的極限即可。

答題過程

展開

我們將極限式的分子與分母同乘以 n+1+n\sqrt{n+1} + \sqrt{n}，利用平方差公式 (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 來消除分母的根式相減：

 lim⁡n→∞n+1+nn(n+1−n)= lim⁡n→∞(n+1+n)(n+1+n)n(n+1−n)(n+1+n)= lim⁡n→∞(n+1+n)2n((n+1)−n)= lim⁡n→∞(n+1+n)2n⋅1= lim⁡n→∞n+1+2n(n+1)+nn= lim⁡n→∞2n+1+2n2+nn= lim⁡n→∞(2+1n+2n2+nn2)= lim⁡n→∞(2+1n+21+1n)= 2+0+21+0= 4\begin{align*} &\, \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})^2}{n \Big((n+1) - n\Big)} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})^2}{n \cdot 1} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \frac{n+1 + 2\sqrt{n(n+1)} + n}{n} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1 + 2\sqrt{n^2+n}}{n} \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{\frac{n^2+n}{n^2}} \right) \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{1+\frac{1}{n}} \right) \\[4mm] =&\, 2 + 0 + 2\sqrt{1+0} \\[4mm] =&\, 4 \end{align*}

因此，第 (1) 格答案為 4。