本題分為兩個小問，分別探討冪級數與交錯級數的斂散性質。

(a) 求冪級數的收斂半徑與特定級數和

• 設第 $n$ 項為 $a_n(x) = \frac{(-1)^n x^n}{9^n (2n)!}$。
• 利用比例審斂法求比值極限，得到收斂半徑為 $\infty$。
• 觀察級數和形式 $\sum \frac{(-1)^n (\sqrt{\pi}/3)^{2n}}{(2n)!}$，這正好是餘弦函數 $\cos y$ 的麥克勞林展開式，其中 $y = \frac{\sqrt{\pi}}{3}$。

(b) 判斷交錯級數的收斂類別

• 要判斷是否為絕對收斂 (Absolutely Convergent)，首先需要對級數的絕對值 $\sum \frac{1}{n(1 + \ln^2 n)}$ 進行檢驗。
• 對應函數 $f(x) = \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}$ 在 $x \ge 1$ 為正、連續且單調遞減。
• 套用積分審斂法，代換 $u = \ln x$ 計算廣義積分。若積分收斂，則原級數絕對收斂。

(a) 求解收斂半徑與級數和

1. 求收斂半徑 $R$： 我們令冪級數的一般項為：

   $$a_n(x) = \frac{(-1)^n x^n}{3^{2n}(2n)!} = \frac{(-1)^n x^n}{9^n(2n)!}$$

   使用比例審斂法（Ratio Test）：

   $$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| =&\, \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{9^{n+1}(2n+2)!}}{\frac{(-1)^n x^n}{9^n(2n)!}} \right| \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \left( \frac{9^n}{9^{n+1}} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \left| \frac{x^{n+1}}{x^n} \right| \right) \\[4mm] =&\, \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \cdot |x| \right) \end{align*}$$

   對於任何實數 $x$，由於分母在 $n \to \infty$ 時趨於 $\infty$：

   $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = 0 < 1$$

   因為此極限對所有實數 $x$ 均小於 $1$，故此級數在全實數域上皆收斂。 所以，收斂半徑為 $R = \infty$。

2. 計算級數和： 我們知道餘弦函數 $\cos y$ 的麥克勞林展開式為：

   $$\cos y = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n y^{2n}}{(2n)!} \quad \text{對於所有 } y \in \mathbb{R}$$

   我們將待求級數整理為：

   $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^n}{3^{2n}(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \left(\sqrt{\pi}\right)^{2n}}{3^{2n}(2n)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\sqrt{\pi}}{3} \right)^{2n}$$

   對照展開式，此時令 $y = \frac{\sqrt{\pi}}{3}$。代入得級數和為：

   $$\cos\left( \frac{\sqrt{\pi}}{3} \right)$$

(b) 判斷 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(1 + \ln^2 n)}$ 的斂散性

我們先考慮其絕對值項級數：

對應函數為：

顯然， $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上是正值、連續且單調遞減的。我們採用積分審斂法，計算其對應的廣義積分：

使用換元法。令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$：

• 當 $x = 1 \implies u = 0$。
• 當 $x = b \implies u = \ln b$。

當 $b \to \infty$ 時， $\ln b \to \infty$，故：

由於此廣義積分收斂，說明絕對值級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1 + \ln^2 n)}$ 收斂。 根據定義，原交錯級數為絕對收斂 (Absolutely Convergent)。