1. 本題要求空間向量函數所代表曲線在參數 $t \in [0, \pi/4]$ 上的弧長。
2. 第一步：寫出空間曲線弧長公式： $L = \int_a^b \left\| \mathbf{r}'(t) \right\| \,\mathrm{d}t$
3. 第二步：求導向量 $\mathbf{r}'(t)$：
   • $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, \ln(\cos t) \rangle$。
   • $\mathbf{r}'(t) = \langle -\sin t, \cos t, \frac{1}{\cos t} \cdot (-\sin t) \rangle = \langle -\sin t, \cos t, -\tan t \rangle$。
4. 第三步：求速度（模長） $\left\| \mathbf{r}'(t) \right\|$： $\left\| \mathbf{r}'(t) \right\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (-\tan t)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 t} = \sqrt{\sec^2 t}$
   • 因為 $t \in [0, \pi/4]$ 落在第一象限， $\sec t > 0$，故 $\left\| \mathbf{r}'(t) \right\| = \sec t$。
5. 第四步：進行積分求弧長： $L = \int_0^{\pi/4} \sec t \,\mathrm{d}t = \left[ \ln|\sec t + \tan t| \right]_0^{\pi/4}$

給定曲線向量方程式：

我們首先對各分量關於參數 $t$ 求導數以得到切向量 $\mathbf{r}'(t)$：

計算切向量的模長（即速率 $\left\| \mathbf{r}'(t) \right\|$）：

利用三角恆等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$：

由於在積分區間 $t \in \left[0,\, \frac{\pi}{4}\right]$ 內， $\sec t > 0$，因此可以直接開根號：

根據曲線弧長公式，進行定積分計算：

我們代入三角函數數值（$\sec(\pi/4) = \sqrt{2}, \tan(\pi/4) = 1, \sec(0) = 1, \tan(0) = 0$）：

結論： 7. 填入 $\ln(\sqrt{2} + 1)$。