1. 本題要求在半球體 $E = \{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \le 4, \ y \ge 0 \}$ 上計算三重積分 $\iiint_E x^2 \,\mathrm{d}V$。
2. 由於半球體是相對於 $y \ge 0$ 的，我們最容易將其沿 $y$ 軸進行積分：
   • 對於每個固定的 $(x, z)$， $y$ 的變化範圍為： $0 \le y \le \sqrt{4 - x^2 - z^2}$。
   • 而 $(x, z)$ 投影在 $xz$ 平面上的區域為一個圓盤 $D_{xz} : x^2 + z^2 \le 4$。
3. 第一步：寫出積分式： $\iiint_E x^2 \,\mathrm{d}V = \iint_{x^2+z^2 \le 4} \left( \int_0^{\sqrt{4-x^2-z^2}} x^2 \,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}z$ $= \iint_{x^2+z^2 \le 4} x^2 \sqrt{4-x^2-z^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}z$
4. 第二步：使用極座標在 $xz$ 平面上求解：
   • 令 $x = r\cos\theta, z = r\sin\theta, \mathrm{d}x\mathrm{d}z = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
   • 區域範圍為： $0 \le \theta \le 2\pi$， $0 \le r \le 2$。
   • 積分化為： $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta \cdot \int_0^2 r^3 \sqrt{4-r^2} \,\mathrm{d}r$。
5. 第三步：分別計算兩個單變數積分：
   • 第一部分： $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \pi$。
   • 第二部分：使用三角代換法 $r = 2\sin\phi \implies \mathrm{d}r = 2\cos\phi \,\mathrm{d}\phi$，可求得 $\frac{64}{15}$。
6. 相乘即為所求。

我們將半球體 $E$ 投影到 $xz$ 平面上，其投影區域為圓盤：

對於圓盤上的每一點 $(x, z)$， $y$ 軸的高度變化範圍為：

我們將三重積分改寫為累次積分：

在 $xz$ 平面上引入極座標變換：

積分範圍為：

代入極座標：

我們分別計算這兩部分積分：

1. 第一部分：關於 $\theta$ 的積分：

   $$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{2\pi} = \pi$$

2. 第二部分：關於 $r$ 的積分： 我們使用三角代換法。令：

   $$r = 2\sin\phi \implies \mathrm{d}r = 2\cos\phi \,\mathrm{d}\phi$$

   變更界限：當 $r = 0 \implies \phi = 0$；當 $r = 2 \implies \phi = \frac{\pi}{2}$。

   $$\begin{align*} \int_0^2 r^3 \sqrt{4 - r^2} \,\mathrm{d}r =&\, \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin\phi)^3 \sqrt{4 - 4\sin^2\phi} \cdot (2\cos\phi) \,\mathrm{d}\phi \\[4mm] =&\, \int_0^{\frac{\pi}{2}} 8\sin^3\phi \cdot (2\cos\phi) \cdot (2\cos\phi) \,\mathrm{d}\phi \\[4mm] =&\, 32 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi \cos^2\phi \,\mathrm{d}\phi \\[4mm] =&\, 32 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi (1 - \cos^2\phi) \cos^2\phi \,\mathrm{d}\phi \\[4mm] =&\, 32 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin\phi\cos^2\phi - \sin\phi\cos^4\phi \right) \mathrm{d}\phi \\[4mm] =&\, 32 \left[ -\frac{1}{3}\cos^3\phi + \frac{1}{5}\cos^5\phi \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[4mm] =&\, 32 \left( 0 - \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) \right) = 32 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{64}{15} \end{align*}$$

將兩部分結果代回式 (1)：

結論： 6. 填入 $\displaystyle \frac{64\pi}{15}$。