1. 本題要在矩形區域 $R$ 上計算二重積分 $\iint_R (x+y)e^{x^2-y^2} \,\mathrm{d}A$。
2. 觀察邊界條件和被積函數，含有 $x+y$ 與 $x-y$。這提示我們應使用旋轉變數變換 (Change of Variables)。
3. 第一步：定義新變數並確定範圍：
   • 令 $u = x + y$ 且 $v = x - y$。
   • 由邊界條件：
     • $x + y = 0 \implies u = 0$， $x + y = 3 \implies u = 3$。故 $0 \le u \le 3$。
     • $x - y = 0 \implies v = 0$， $x - y = 2 \implies v = 2$。故 $0 \le v \le 2$。
4. 第二步：計算雅可比行列式 (Jacobian Determinant)：
   • 我們可以由 $u, v$ 對 $x, y$ 的偏導求倒數： $J^{-1} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2$
   • 雅可比行列式絕對值為： $|J| = \left| \frac{1}{J^{-1}} \right| = \frac{1}{2}$。
   • 因此，面積微元為 $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2} \mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
5. 第三步：將被積函數轉換並進行累次積分：
   • 被積函數為 $(x+y)e^{x^2-y^2} = (x+y)e^{(x-y)(x+y)} = u e^{uv}$。
   • 積分式為： $I = \int_0^3 \int_0^2 u e^{uv} \left( \frac{1}{2} \right) \mathrm{d}v\mathrm{d}u$
   • 依序對 $v$ 與 $u$ 積分。

我們引入變數變換，令：

根據題目給定的矩形邊界，變換後的積分區域 $D_{uv}$ 範圍為：

• $x + y = 0 \implies u = 0$
• $x + y = 3 \implies u = 3$
• $x - y = 0 \implies v = 0$
• $x - y = 2 \implies v = 2$ 因此，新區域為矩形： $0 \le u \le 3, \ 0 \le v \le 2$。

我們計算雅可比行列式（Jacobian）以轉換面積微元。首先計算其逆變換的行列式：

因此，雅可比行列式的絕對值為：

我們將被積函數改寫為 $u$ 與 $v$ 的表示式：

代入二重積分並進行計算：

計算內層關於 $v$ 的積分（此時 $u$ 視為常數）：

將其代回外層積分式中， $u$ 被消去：

結論： 5. 填入 $\displaystyle \frac{e^6 - 7}{4}$。