1. 本題要求計算在區域 $D$ 上的二重積分 $\iint_D (x^2+y^2)^{3/2} \,\mathrm{d}A$。
2. 觀察被積函數包含 $x^2+y^2$，且積分區域是由圓和過原點的直線圍成的。這提示我們應使用極座標變換 (Polar Coordinates)。
3. 第一步：建立極座標變換：
   • $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
   • 被積函數化為： $(r^2)^{3/2} = r^3$。
4. 第二步：分析積分區域的極半徑 $r$ 與極角 $\theta$ 的範圍：
   • 邊界圓為 $x^2+y^2 = 9 \implies r^2 = 9 \implies r = 3$。所以極半徑範圍為 $0 \le r \le 3$。
   • 邊界直線一為 $y = 0 \implies \theta = 0$。
   • 邊界直線二為 $y = \sqrt{3}x \implies \tan\theta = \sqrt{3} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$（第一象限）。
   • 故極角範圍為 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$。
5. 第三步：寫出累次積分式並計算： $I = \int_0^{\pi/3} \int_0^3 r^3 \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_0^{\pi/3} \int_0^3 r^4 \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

我們引入極座標變換：

將被積函數轉換為極座標表示形式：

接著分析積分區域 $D$ 在第一象限的極座標範圍：

1. 極半徑 $r$ 的範圍： 由圓方程式 $x^2 + y^2 = 9$ 得到 $r^2 = 9 \implies r = 3$。故 $0 \le r \le 3$。
2. 極角 $\theta$ 的範圍：
   • 由 $y = 0$（$x$ 軸）得 $\theta = 0$。
   • 由 $y = \sqrt{3}x$ 得到 $\tan\theta = \sqrt{3}$。在第一象限內，解得 $\theta = \frac{\pi}{3}$。
   • 故極角範圍為 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$。

代入二重積分公式，寫成累次積分：

結論： 4. 填入 $\displaystyle \frac{81\pi}{5}$。