1. 本題要求計算定積分 $\int_0^{\ln 17} \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 15} \,\mathrm{d}x$。
2. 被積函數包含根式 $\sqrt{e^x - 1}$，且分子正好有 $e^x \,\mathrm{d}x$。這強烈提示我們可以使用代換積分法 (Substitution Method)。
3. 第一步：選取代換變數：
   • 令 $u^2 = e^x - 1 \implies 2u\,\mathrm{d}u = e^x \,\mathrm{d}x$。
   • 將分母 $e^x + 15$ 表示為： $e^x + 15 = (u^2 + 1) + 15 = u^2 + 16$。
4. 第二步：更換積分上下限：
   • 當 $x = 0$ 時： $u^2 = e^0 - 1 = 0 \implies u = 0$。
   • 當 $x = \ln 17$ 時： $u^2 = e^{\ln 17} - 1 = 17 - 1 = 16 \implies u = 4$。
5. 第三步：代入積分式並化簡： $\int_0^4 \frac{u}{u^2+16} \cdot 2u\,\mathrm{d}u = 2 \int_0^4 \frac{u^2}{u^2+16} \,\mathrm{d}u$ $= 2 \int_0^4 \left( 1 - \frac{16}{u^2+16} \right) \mathrm{d}u$
6. 第四步：利用常用積分公式求解：
   • 我們知道 $\int \frac{1}{u^2+a^2} \,\mathrm{d}u = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$。
   • 代入計算即可。

我們採用換元積分法，令：

同時，分母可表示為：

變更積分界限：

• 當 $x = 0$ 時， $u = \sqrt{e^0 - 1} = 0$。
• 當 $x = \ln 17$ 時， $u = \sqrt{e^{\ln 17} - 1} = \sqrt{17 - 1} = 4$。

將其代回積分式：

分開計算積分：

已知 $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ 且 $\tan^{-1}(0) = 0$：

結論： 3. 填入 $8 - 2\pi$。