1. 本題要求找出二元函數 $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-x}$ 的局部最大值、局部最小值及所有鞍點。
2. 第一步：求一階偏導函數，尋找臨界點 (Critical Points)：
   • $f_x = 2x e^{-x} - (x^2+y^2)e^{-x} = (2x - x^2 - y^2)e^{-x} = 0 \implies x^2+y^2-2x = 0$。
   • $f_y = 2y e^{-x} = 0 \implies y = 0$。
   • 聯立解出所有的臨界點。
3. 第二步：求二階偏導函數，建立黑塞矩陣 (Hessian Matrix)：
   • $f_{xx} = (2-4x+x^2+y^2)e^{-x}$。
   • $f_{yy} = 2e^{-x}$。
   • $f_{xy} = -2y e^{-x}$。
   • 判別式為 $D(x,y) = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$。
4. 第三步：對各臨界點使用二階導數判別法：
   • 代入臨界點，藉由 $D$ 的正負與 $f_{xx}$ 的符號來判斷其極值屬性。

第一步：尋找臨界點（Critical Points）

我們計算函數 $f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-x}$ 的一階偏導函數，並令其為零：

由於對於任何實數 $x$，指數項 $e^{-x} > 0$ 恆成立：

• 由式 (2) 得到： $2y = 0 \implies y = 0$。
• 將 $y = 0$ 代入式 (1)： $$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2$$

因此，臨界點有兩個：

第二步：二階偏導分析（黑塞矩陣判別）

我們計算二階偏導函數：

黑塞矩陣的判別式為：

我們對兩個臨界點分別進行討論：

1. 對於臨界點 $P_1(0, 0)$： 代入偏導函數值：

   • $f_{xx}(0, 0) = (2 - 0 + 0 + 0)e^0 = 2$
   • $f_{yy}(0, 0) = 2e^0 = 2$
   • $f_{xy}(0, 0) = 0$ 計算判別式：
   $$D(0, 0) = (2)(2) - 0^2 = 4 > 0$$

   因為 $D > 0$ 且 $f_{xx}(0, 0) = 2 > 0$，所以函數在點 $(0, 0)$ 取得相對極小值（local minimum）。 極小值為：

   $$f(0, 0) = (0^2 + 0^2)e^0 = 0$$

2. 對於臨界點 $P_2(2, 0)$： 代入偏導函數值：

   • $f_{xx}(2, 0) = (2 - 8 + 4 + 0)e^{-2} = -2e^{-2}$
   • $f_{yy}(2, 0) = 2e^{-2}$
   • $f_{xy}(2, 0) = 0$ 計算判別式：
   $$D(2, 0) = \left(-2e^{-2}\right)\left(2e^{-2}\right) - 0^2 = -4e^{-4} < 0$$

   因為判別式 $D < 0$，所以點 $P_2(2, 0)$ 為函數的鞍點（saddle point）。此時鞍點處函數值為 $f(2, 0) = 4e^{-2}$。

此函數沒有相對最大值。

結論：

• 相對極小值為 $f(0, 0) = 0$。
• 沒有相對最大值。
• 鞍點為 $(2, 0)$。