本題分為兩個小問，分別考察單變數與多變數函數的極限計算。

(a) 計算極限 $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (\tan x)^{\cos x}$

• 此為 $\infty^0$ 未定型。
• 對其取自然對數變形： $\ln y = \cos x \ln(\tan x) = \frac{\ln(\tan x)}{\sec x}$。
• 當 $x \to (\frac{\pi}{2})^-$ 時，此式為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
• 套用羅必達法則求導並化簡，得出對數極限為 $0$，最後再還原成 $e^0 = 1$。

(b) 探討多變數極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{y^2 \sin^2 x}{x^4 + y^4}$

• 要證明一個多變數極限不存在，最常用的方法是尋找兩條不同的路徑逼近原點，並展示它們產生的極限值不同。
• 路徑一：沿 $x = 0$ 軸。
• 路徑二：沿直線 $y = x$。
• 比較這兩個極限值即可得出結論。

(a) 求解極限 $\displaystyle \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (\tan x)^{\cos x}$

令待求函數為 $y = (\tan x)^{\cos x}$。兩側取自然對數：

當 $x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-$ 時， $\ln(\tan x) \to \infty$，且 $\sec x \to \infty$，此為 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定型。我們使用羅必達法則，對分子分母求導：

將正割與正切展開為正弦與餘弦：

代入極限：

由於對數極限為 $0$，我們將其取指數還原：

(b) 證明多變數極限 $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{y^2 \sin^2 x}{x^4 + y^4}$ 不存在

我們通過選擇不同的逼近路徑來研究此極限：

1. 路徑一：沿 $y$ 軸逼近原點（即令 $x = 0$，且 $y \to 0$）：

   $$\lim_{\substack{x = 0 \\ y \to 0}} \frac{y^2 \sin^2(0)}{0^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{0}{y^4} = 0$$

2. 路徑二：沿直線 $y = x$ 逼近原點（即令 $y = x$，且 $x \to 0$）：

   $$\lim_{\substack{y = x \\ x \to 0}} \frac{x^2 \sin^2 x}{x^4 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin^2 x}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$$

   利用極限公式 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：

   $$\lim_{\substack{y = x \\ x \to 0}} \frac{y^2 \sin^2 x}{x^4 + y^4} = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2}$$

由於從路徑一與路徑二逼近所得到的極限值不相等（即 $0 \neq \frac{1}{2}$），故此多變數極限不存在。