1. 本題求當 $x \to 2$ 時的極限。原式可重寫為： $\lim_{x \to 2} \frac{\int_4^{x^2} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t}{x - 2}$
2. 當 $x = 2$ 時，上限 $x^2 = 4$，分子積分式為 $\int_4^4 = 0$，分母為 $2 - 2 = 0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型的未定式。
3. 第一步：使用羅必達法則與微積分基本定理：
   • 對分母求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 2) = 1$。
   • 對分子求導，應用微積分基本定理的第一形式與連鎖律： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_4^{x^2} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot 2x$
4. 第二步：求導後帶入 $x = 2$ 求解。

我們將待求極限式表示成分式形式：

當 $x \to 2$ 時，分子與分母均趨近於 $0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。我們使用羅必達法則（L’Hôpital’s Rule），對分子與分母分別關於 $x$ 求導：

• 分母求導： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 2) = 1$$
• 分子求導： 根據萊布尼茲法則（微積分基本定理第一形式與連鎖律）： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_4^{x^2} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot 2x$$

將求導結果代回極限式中：

代入 $x = 2$：

結論：

1. 填入 $\sin 4$。