1. 給定級數 $\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^p}$，其一般項可對應函數 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^p}$，定義於 $x \ge 3$。
2. 因為在 $x \ge 3$ 且 $p \ge 0$ 時， $f(x)$ 顯然是連續的、正值的，且分母 $x(\ln x)^p$ 隨著 $x$ 增加而增加，所以 $f(x)$ 為遞減函數。
3. 因此，我們可以套用積分審斂法 (Integral Test)： 級數的收斂性與廣義積分 $\int_3^\infty f(x) \,\mathrm{d}x$ 相同。
4. 第一步：建立變數代換： 令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$。 積分式改寫為： $\int \frac{1}{x(\ln x)^p} \,\mathrm{d}x = \int u^{-p} \,\mathrm{d}u$
5. 第二步：討論 $p$ 的範圍並求出廣義積分極限：
   • 情況一： $p = 1$： $\int_3^\infty \frac{1}{x\ln x} \,\mathrm{d}x = \left. \ln(\ln x) \right|_3^\infty = \infty \quad (\text{發散})$
   • 情況二： $p \neq 1$（由於題目前提 $p \ge 0$，因此只討論 $p \ge 0$ 且 $p \neq 1$）： $\int_3^\infty u^{-p} \,\mathrm{d}u = \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{u^{1-p}}{1-p} \right]_{\ln 3}^{\ln b} = \lim_{b\to\infty} \frac{(\ln b)^{1-p} - (\ln 3)^{1-p}}{1-p}$
     • 若 $1-p < 0 \implies p > 1$，則當 $b \to \infty$ 時， $(\ln b)^{1-p} \to 0$。此時積分收斂於 $\frac{(\ln 3)^{1-p}}{p-1}$。
     • 若 $1-p > 0 \implies 0 \le p < 1$，則當 $b \to \infty$ 時， $(\ln b)^{1-p} \to \infty$。此時積分發散。
6. 第三步：總結級數收斂的 $p$ 值範圍。

我們定義與級數對應的實數函數：

當 $p \ge 0$ 時，函數 $f(x)$ 滿足：

1. 正值性：對於所有 $x \ge 3$， $x > 0$ 且 $\ln x > 0 \implies f(x) > 0$。
2. 連續性：分母不為零， $f(x)$ 在 $[3, \infty)$ 上連續。
3. 單調遞減性：當 $x$ 增加時， $x$ 與 $\ln x$ 均單調遞增，故其乘積與次方 $x(\ln x)^p$ 亦單調遞增，取倒數後 $f(x)$ 單調遞減。

根據積分審斂法（Integral Test），級數 $\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^p}$ 的斂散性與下列廣義積分相同：

我們引入變數變換，令 $u = \ln x \implies \mathrm{d}u = \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x$。 積分限變更：當 $x = 3 \implies u = \ln 3$；當 $x \to \infty \implies u \to \infty$。

對 $p$ 進行討論：

1. 若 $p = 1$：

   $$I = \lim_{b \to \infty} \Big[ \ln u \Big]_{\ln 3}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( \ln b - \ln(\ln 3) \right) = \infty \quad \text{（發散）}$$

2. 若 $p \neq 1$：

   $$\int_{\ln 3}^{b} u^{-p} \,\mathrm{d}u = \left[ \frac{u^{1-p}}{1-p} \right]_{\ln 3}^{b} = \frac{b^{1-p} - (\ln 3)^{1-p}}{1-p}$$

   我們分析 $b \to \infty$ 時的極限：

   • 子情況 A：當 $p > 1$ 時： 此時 $1 - p < 0$，故 $\lim_{b \to \infty} b^{1-p} = 0$。因此： $$I = \frac{0 - (\ln 3)^{1-p}}{1-p} = \frac{(\ln 3)^{1-p}}{p - 1} \quad \text{（收斂）}$$
   • 子情況 B：當 $0 \le p < 1$ 時： 此時 $1 - p > 0$，故 $\lim_{b \to \infty} b^{1-p} = \infty$。因此： $$I = \infty \quad \text{（發散）}$$

總結：

• 當 $p > 1$ 時，廣義積分收斂，故原級數收斂。
• 當 $0 \le p \le 1$ 時，廣義積分發散，故原級數發散。