題目

Problem

一、填充題：共8題，每題8分、總計64分。請在答案卷上列出題號並依序作答。

(8) Suppose that $x^2 + xy = \sin x$ . Find $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ in terms of $x$ and $y$ .

解答

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本題給出隱函數關係式 $x^2 + xy = \sin x$ ，要求導函數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ （以 $x$ 和 $y$ 表示）。
第一步：對等式兩邊同時關於 $x$ 求導：
- 注意 $y$ 是 $x$ 的函數。對於 $xy$ 項，需要套用乘積求導法則： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (xy) = 1 \cdot y + x \cdot y'$
- 左邊項求導： $2x + y + x y'$ 。
- 右邊項求導： $\cos x$ 。
第二步：移項並解出 $y'$ ： $2x + y + x y' = \cos x \implies x y' = \cos x - 2x - y \implies y' = \frac{\cos x - 2x - y}{x}$

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給定隱函數關係式：

x^2 + xy = \sin x

兩側同時關於自變數 $x$ 求導（將 $y$ 視為 $x$ 的函數，寫作 $y'$ ）：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x^2) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (xy) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\sin x)

利用乘積求導法則求第二項：

2x + \left( y + x \cdot y' \right) = \cos x

2x + y + x y' = \cos x

將含有 $y'$ 的項留在左側，其餘項移至右側：

x y' = \cos x - 2x - y

假設 $x \neq 0$ ，同除以 $x$ 解得 $y'$ ：

y' = \frac{\cos x - 2x - y}{x}

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令二元函數：

F(x, y) = x^2 + xy - \sin x = 0

對其分別求關於 $x$ 與 $y$ 的偏導函數：

關於 $x$ 的偏導函數 $F_x$ ： $F_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 + xy - \sin x \right) = 2x + y - \cos x$
關於 $y$ 的偏導函數 $F_y$ ： $F_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 + xy - \sin x \right) = x$

根據隱函數求導公式：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x + y - \cos x}{x} = \frac{\cos x - 2x - y}{x}

結論： (8) 填入 $\displaystyle \frac{\cos x - 2x - y}{x}$ 。