1. 本題要求找出二元函數 $f(x,y) = x^3 - 12xy + 8y^3$ 在全實數平面上的所有局部極值（Extrema）。
2. 第一步：求一階偏導函數，尋找臨界點 (Critical Points)：
   • $f_x = 3x^2 - 12y = 0 \implies y = \frac{1}{4}x^2$。
   • $f_y = -12x + 24y^2 = 0 \implies x = 2y^2$。
   • 聯立解出所有的臨界點。
3. 第二步：求二階偏導函數，建立黑塞矩陣 (Hessian Matrix)：
   • $f_{xx} = 6x$， $f_{yy} = 48y$， $f_{xy} = -12$。
   • 判別式為： $D(x,y) = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (6x)(48y) - (-12)^2 = 288xy - 144$。
4. 第三步：對各個臨界點使用二階導數判別法：
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0 \implies$ 局部極小值。
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0 \implies$ 局部極大值。
   • 若 $D < 0 \implies$ 鞍點（Saddle Point）。
   • 計算出對應的極值。

第一步：尋找臨界點（Critical Points）

我們計算一階偏導函數，並令其為零：

將式 (1) 代入式 (2)：

在實數範圍內，解得：

將其代回式 (1) 以求解 $y$ 座標：

• 若 $x = 0 \implies y = 0$，臨界點為 $P_1(0, 0)$。
• 若 $x = 2 \implies y = 1$，臨界點為 $P_2(2, 1)$。

第二步：二階偏導分析（黑塞矩陣判別）

我們求二階偏導函數：

建立黑塞矩陣的判別式 $D(x, y)$：

我們對這兩個臨界點分別進行分析：

1. 對於臨界點 $P_1(0, 0)$：

   $$D(0, 0) = 144(2 \cdot 0 - 1) = -144 < 0$$

   因為判別式 $D < 0$，所以點 $(0, 0)$ 為函數的鞍點 (Saddle Point)，此處不產生局部極值。

2. 對於臨界點 $P_2(2, 1)$：

   $$D(2, 1) = 144(2 \cdot 2 \cdot 1 - 1) = 144(3) = 432 > 0$$

   此時 $D > 0$，且二階偏導值：

   $$f_{xx}(2, 1) = 6(2) = 12 > 0$$

   因為 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，所以函數在點 $(2, 1)$ 取得相對極小值（local minimum）。 極小值為：

   $$f(2, 1) = 2^3 - 12(2)(1) + 8(1)^3 = 8 - 24 + 8 = -8$$

該函數沒有相對極大值。

結論： (7) 填入：在 $(2, 1)$ 取得相對極小值 $-8$（或寫為：相對極小值 $f(2,1)=-8$，且無相對極大值）。