題目

Problem

一、填充題：共8題，每題8分、總計64分。請在答案卷上列出題號並依序作答。

(6) Find the volume of the right circular cone of base radius $r$ and height $h$ as shown in the following figure. Write your answer in terms of $h$ and $r$ .

解答

解法一：利用圓盤法旋轉體積分（微積分證明）

思路

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本題要求底半徑為 $r$ 、高為 $h$ 的直圓錐體積。
雖然中學幾何給出體積公式為 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ ，但在大學微積分考卷中，我們通常需要使用**旋轉體體積積分（圓盤法 Disk Method）**來求得或證明。
第一步：建立直角座標系與直線方程式：
- 將圓錐的對稱軸設為 $x$ 軸，頂點放在原點 $(0, 0)$ ，底面圓心放在 $(h, 0)$ 。
- 圓錐的側面邊緣在 $xy$ 平面上對應一條通過原點 $(0, 0)$ 與點 $(h, r)$ 的直線。
- 此直線方程式為： $y = \frac{r}{h} x$ ，定義區間為 $x \in [0, h]$ 。
第二步：使用圓盤法寫出積分式：
- 在任意位置 $x$ 處，垂直於 $x$ 軸切出的截面是一個半徑為 $y = \frac{r}{h} x$ 的圓盤。
- 截面積為 $A(x) = \pi y^2 = \pi \left( \frac{r}{h} x \right)^2$ 。
- 體積微元為 $\mathrm{d}V = A(x) \mathrm{d}x = \pi \frac{r^2}{h^2} x^2 \mathrm{d}x$ 。
第三步：對 $x$ 從 $0$ 到 $h$ 積分求出體積 $V$ 。

答題過程

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我們在直角座標系上，將圓錐的中心對稱軸置於 $x$ 軸上，頂點重合於原點 $(0, 0)$ ，而底面圓心置於 $(h, 0)$ 。在此設定下，圓錐的側切面邊界可由一條通過 $(0, 0)$ 與 $(h, r)$ 的直線來代表。

該直線方程式為：

y = \frac{r}{h} x, \quad \text{定義於 } 0 \le x \le h

我們將此直線繞 $x$ 軸旋轉一週，所圍成的旋轉體即為該直圓錐。在任意 $x$ 處，垂直於旋轉軸的截面為圓盤，其半徑為：

a(x) = y = \frac{r}{h} x

根據圓盤法（Disk Method），旋轉體體積 $V$ 為：

\begin{align*} V =&\, \int_0^h \pi [a(x)]^2 \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^h \pi \left( \frac{r}{h} x \right)^2 \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \pi \frac{r^2}{h^2} \int_0^h x^2 \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \pi \frac{r^2}{h^2} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^h \\[4mm] =&\, \pi \frac{r^2}{h^2} \left( \frac{1}{3} h^3 - 0 \right) = \frac{1}{3} \pi r^2 h \end{align*}

結論： (6) 填入 $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。

113 台聯大微積分(A2) 第 6 題

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解答

解法一：利用圓盤法旋轉體積分（微積分證明）

思路

答題過程