1. 可微性（Differentiability）的必要條件： 函數在 $x = 0$ 處可微，前提是在 $x = 0$ 處必須是連續的。
2. 第一步：保證函數在 $x=0$ 處連續：
   • 左極限（與函數值）： $\lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0) = \sin 0 = 0$。
   • 右極限： $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 2(0)^2 + a(0) + b - 3 = b - 3$。
   • 連續要求左極限等於右極限： $b - 3 = 0 \implies b = 3$。
3. 第二步：保證左右導數相等：
   • 左導數（由 $x \le 0$ 分支求導）： $f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$
   • 右導數（由 $x > 0$ 分支求導，代入 $b=3$）： $f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+} \frac{2x^2 + ax}{x} = \lim_{x\to 0^+} (2x + a) = a$
   • 可微要求左右導數相等： $a = 2$。
4. 第三步：寫出最終答案 $(a,b)$。

函數 $f(x)$ 在 $x = 0$ 處可微，必須滿足兩個條件：連續性與左右導數相等。

條件一： $f(x)$ 在 $x = 0$ 處連續

這要求左極限、右極限與該點的函數值相等：

• 左極限與函數值為： $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \sin(2 \cdot 0) = 0$$
• 右極限為： $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( 2x^2 + ax + b - 3 \right) = b - 3$$

為了保證連續，必須有：

條件二： $f(x)$ 在 $x = 0$ 處的左右導數存在且相等

我們將 $b = 3$ 代回原函數中，此時當 $x > 0$ 時， $f(x) = 2x^2 + ax$。 我們利用導數的定義計算左右導數：

• 左導數 $f'_-(0)$： $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$$
• 右導數 $f'_+(0)$： $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\left( 2x^2 + ax \right) - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} (2x + a) = a$$

可微性要求左右導數相等：

因此，滿足條件之常數為 $a = 2, b = 3$。

結論： (5) 填入 $(2, 3)$。