1. 定義冪級數： 我們令 $a_n(x) = \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(x - 3)^n$。
2. 第一步：使用比例審斂法 (Ratio Test) 尋找收斂半徑 $R$： 計算比值極限： $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right|$ 將項代入化簡，解不等式 $L < 1$。 不等式會給出 $|x-3| < R$ 的範圍。
3. 第二步：分析邊界端點的斂散性：
   • 當 $L < 1$ 得到區間 $0 < x < 6$。端點為 $x=0$ 與 $x=6$。
   • 將 $x=0$ 代回原級數，使用常數級數審斂法（通常是第 $n$ 項測試法）判斷。
   • 將 $x=6$ 代回原級數，進行相同的判斷。
4. 第三步：寫出最終的收斂區間（開、閉區間）。

設冪級數的第 $n$ 項為：

我們套用比例審斂法（Ratio Test）來判斷級數的收斂範圍，計算比值在 $n \to \infty$ 時的極限：

為使級數絕對收斂，必須滿足此極限小於 $1$：

展開絕對值不等式：

這表示收斂半徑為 $R = 3$，且在開區間 $(0, 6)$ 內級數收斂。

接下來，我們必須單獨檢驗兩個端點 $x = 0$ 與 $x = 6$ 的斂散性：

1. 當端點 $x = 0$ 時： 將 $x = 0$ 代回原級數中：

   $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(0 - 3)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(-3)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(-1)^n 3^n$$

   由於 $(-1)^n (-1)^n = (-1)^{2n} = 1$：

   $$\sum_{n=0}^\infty (n + 2)$$

   該級數的第 $n$ 項為 $u_n = n + 2$，其極限為 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n+2) = \infty \neq 0$。根據發散測試法（nth-term test for divergence），該級數在 $x=0$ 處發散。

2. 當端點 $x = 6$ 時： 將 $x = 6$ 代回原級數中：

   $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(6 - 3)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n + 2)}{3^n}(3)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n + 2)$$

   此為一個交錯級數，其第 $n$ 項的絕對值為 $n+2$，極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n+2) = \infty \neq 0$。因此級數項不會收斂於零，該交錯級數同樣在 $x=6$ 處發散。

綜上所述，級數僅在開區間 $(0, 6)$ 內收斂。

結論： (4) 填入 $(0, 6)$（或寫為開區間 $0 < x < 6$）。