題目

Problem

一、填充題：共8題，每題8分、總計64分。請在答案卷上列出題號並依序作答。

(3) Evaluate

\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x} \,.

解答

展開

本題求當 $x \to 0$ 時的極限。當 $x = 0$ 代入時，分子為 $0$ ，分母為 $0$ ，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
當 $x \to 0$ $x \to 0$ 時，我們有經典的等價無窮小代換：
- $\sin x \approx x$ 。
- $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ 。
第一步：直接代入等價無窮小進行估算： $\lim_{x\to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x \cdot x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = 2$

展開

利用泰勒展開式，當 $x \to 0$ 時：

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \implies \sin x \approx x

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \implies 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}

將等價關係代回原極限式：

\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{1}{2}x^2} = 2

展開

此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可以直接對分子與分母分別關於 $x$ 求導。
第一步：使用第一次羅必達法則：
- 分子求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x \sin x) = \sin x + x \cos x$ 。
- 分母求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (1 - \cos x) = \sin x$ 。
- 整理極限： $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{\sin x}$
第二步：化簡或再次羅必達：此極限仍為 $\frac{0}{0}$ $\frac{0}{0}$ 型。我們可以將式子拆分為 $1 + \lim_{x\to 0} \frac{x\cos x}{\sin x} = 1 + \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{\frac{\sin x}{x}} = 1 + 1 = 2$ $1 + lim_{x \to 0} \frac{x c o s x}{s i n x} = 1 + lim_{x \to 0} \frac{c o s x}{\frac{s i n x}{x}} = 1 + 1 = 2$ 。或是對分子分母再次求導：
- 分子再求導： $\cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$ 。
- 分分再求導： $\cos x$ 。
- 極限為： $\frac{2(1) - 0}{1} = 2$ 。

展開

原極限為 $\frac{0}{0}$ 未定型。我們使用羅必達法則，對分子分母分別求導：

\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{\sin x}

上式極限仍為 $\frac{0}{0}$ 型，再次套用羅必達法則：

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x \cos x}{\sin x} \stackrel{\text{L.H.}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \cos x - x \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - x \sin x}{\cos x}

代入 $x = 0$ ：

\frac{2(1) - 0}{1} = 2

結論： (3) 填入 $2$ 。