1. 反曲點（Inflection Point）的定義： 反曲點是曲線改變凹凸性的點。這意味著在反曲點處，二階導數 $f''(x) = 0$ 或不存在，且二階導數在此點兩側變號。 請特別注意，反曲點是圖形上的點，其答案格式應寫成座標形式 $(x, y) = (x, f(x))$。
2. 第一步：求出函數的一階與二階導函數：
   • 函數為 $f(x) = e^x\sin x$。
   • $f'(x) = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)$。
   • $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x\cos x$。
3. 第二步：尋找二階導數為零的點：
   • 令 $f''(x) = 2e^x\cos x = 0$。
   • 由於 $2e^x > 0$ 恆成立，故必有 $\cos x = 0$。
   • 在區間 $[0, 2\pi]$ 內，滿足 $\cos x = 0$ 的點為 $x = \frac{\pi}{2}$ 與 $x = \frac{3\pi}{2}$。
4. 第三步：驗證凹凸性變號：
   • 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 兩側， $\cos x$ 從正變為負（$f''(x)$ 從正變負，由上凹變下凹）。
   • 在 $x = \frac{3\pi}{2}$ 兩側， $\cos x$ 從負變為正（$f''(x)$ 從負變正，由下凹變上凹）。
   • 故這兩點皆為反曲點。
5. 第四步：計算對應的 $y$ 座標：
   • $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}\sin\frac{\pi}{2} = e^{\pi/2}$。
   • $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2}\sin\frac{3\pi/2} = -e^{3\pi/2}$。

我們首先計算函數 $f(x) = e^x \sin x$ 的一階與二階導函數。 使用乘積求導法則：

再次求導：

反曲點候選點滿足二階導數為零：

因為對於所有實數 $x$， $e^x > 0$ 恆成立，故必須有：

在給定區間 $[0, 2\pi]$ 內，解得滿足 $\cos x = 0$ 的點為：

我們分析這兩個點兩側的二階導數符號以確認凹凸性（Concavity）的改變：

1. 當 $x \in \left[0,\, \frac{\pi}{2}\right)$ 時： $\cos x > 0 \implies f''(x) > 0$（曲線為凹向上，concave upward）。
2. 當 $x \in \left(\frac{\pi}{2},\, \frac{3\pi}{2}\right)$ 時： $\cos x < 0 \implies f''(x) < 0$（曲線為凹向下，concave downward）。
3. 當 $x \in \left(\frac{3\pi}{2},\, 2\pi\right]$ 時： $\cos x > 0 \implies f''(x) > 0$（曲線為凹向上，concave upward）。

因為 $f''(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 與 $x = \frac{3\pi}{2}$ 兩側均發生了符號的改變，這兩點確實為反曲點。

接著計算這兩點在圖形上的對應 $y$ 座標：

• 對於 $x = \frac{\pi}{2}$：

  $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}$$

  反曲點座標為： $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\, e^{\pi/2} \right)$。

• 對於 $x = \frac{3\pi}{2}$：

  $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2} \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2}(-1) = -e^{3\pi/2}$$

  反曲點座標為： $\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2},\, -e^{3\pi/2} \right)$。

結論： (2) 填入 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\, e^{\pi/2} \right)$ 與 $\displaystyle \left( \frac{3\pi}{2},\, -e^{3\pi/2} \right)$。