1. 本題要求計算兩曲線 $y = f(x)$ 與 $y = g(x)$ 所圍成區域的面積。
2. 第一步：求交點（積分限）：
   • 令 $f(x) = g(x)$： $e^x - e^{-x} + 3 = 2e^x + 5e^{-x} - 2 \implies e^x + 6e^{-x} - 5 = 0$
   • 兩邊同乘 $e^x$ 轉化為二次方程式： $(e^x)^2 - 5(e^x) + 6 = 0$
   • 解此二次方程式得到 $e^x = 2$ 或 $e^x = 3$。
   • 因此，兩交點的 $x$ 座標為 $x = \ln 2$ 與 $x = \ln 3$。
3. 第二步：判斷區間內的函數大小：
   • 在區間 $[\ln 2, \ln 3]$ 內，比較 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的大小。
   • 例如，我們可以取 $e^x = 2.5$ 帶入檢驗：
     • $f(x) = 2.5 - 0.4 + 3 = 5.1$。
     • $g(x) = 2(2.5) + 5(0.4) - 2 = 5 + 2 - 2 = 5$。
     • 故在區間內 $f(x) \ge g(x)$。
4. 第三步：建立定積分並求解：
   • 面積為： $A = \int_{\ln 2}^{\ln 3} (f(x) - g(x)) \,\mathrm{d}x = \int_{\ln 2}^{\ln 3} (5 - e^x - 6e^{-x}) \,\mathrm{d}x$
   • 計算該定積分。

第一步：求兩曲線的交點

我們令兩函數值相等，聯立求解交點的 $x$ 座標：

將所有項移至右側：

由於 $e^x > 0$，我們將等式兩側同乘以 $e^x$：

這是一個關於 $e^x$ 的一元二次方程式。進行因式分解：

兩側取自然對數，解得交點為：

第二步：判斷區間內函數的上下邊界

在開區間 $x \in (\ln 2, \ln 3)$ 內，我們任取一個測試值以判斷哪條曲線在上方。 取 $e^x = 2.5$：

• $f(x) = 2.5 - \frac{1}{2.5} + 3 = 2.5 - 0.4 + 3 = 5.1$
• $g(x) = 2(2.5) + \frac{5}{2.5} - 2 = 5 + 2 - 2 = 5$

因為 $f(x) > g(x)$，說明在積分區間 $[\ln 2, \ln 3]$ 內，曲線 $y = f(x)$ 位於上方。

第三步：積分求解面積

圍成區域的面積 $A$ 為：

代入上限 $x = \ln 3$（此時 $e^x = 3, e^{-x} = 1/3$）與下限 $x = \ln 2$（此時 $e^x = 2, e^{-x} = 1/2$）：

結論： 圍成區域的面積為 $\displaystyle 5\ln\left(\frac{3}{2}\right) - 2$。