1. 本題給出一個二重積分 $\int_0^\infty \int_y^\infty y^2 e^{-x^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
2. 由於被積函數含有 $e^{-x^2}$，我們無法直接對 $x$ 求不定積分（因為其原函數為非初等函數，即誤差函數）。這提示我們必須交換積分順序，先對 $y$ 進行積分。
3. 第一步：分析積分區域 $D$：
   • 區域的邊界為： $y$ 從 $0$ 到 $\infty$，且對於每個固定的 $y$， $x$ 從 $y$ 到 $\infty$。
   • 這對應不等式： $0 \le y < \infty$ 且 $y \le x < \infty$。
   • 將其寫成以 $x$ 為外層積分的形式： $0 \le x < \infty$，且對於每個固定的 $x$， $y$ 的範圍從 $0$ 到 $x$。
   • 積分區域可表示為： $D = \{ (x, y) \mid 0 \le x < \infty, \ 0 \le y \le x \}$。
4. 第二步：寫出新的累次積分並求解： $I = \int_0^\infty \int_0^x y^2 e^{-x^2} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ 先積內層 $y$： $\int_0^x y^2 e^{-x^2} \,\mathrm{d}y = e^{-x^2} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^x = \frac{1}{3} x^3 e^{-x^2}$ 代回外層對 $x$ 進行積分。
5. 第三步：利用換元法與 Gamma 函數計算單變數積分：
   • 欲求 $\frac{1}{3} \int_0^\infty x^3 e^{-x^2} \,\mathrm{d}x$。
   • 令 $u = x^2 \implies \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x \implies x^3 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} u \,\mathrm{d}u$。
   • 變更積分界限： $x=0 \implies u=0$； $x\to\infty \implies u\to\infty$。
   • 積分化為： $\frac{1}{6} \int_0^\infty u e^{-u} \,\mathrm{d}u = \frac{1}{6} \Gamma(2) = \frac{1}{6}$。

給定二重積分：

我們分析其積分區域 $D$：

此區域在第一象限內，夾在直線 $y = x$ 與 $x$ 軸（$y = 0$）之間，往右無限延伸。

我們交換積分順序，將其改寫為先對 $y$ 積分、再對 $x$ 積分的累次積分：

先計算內層關於 $y$ 的積分，此時 $e^{-x^2}$ 視為常數：

代回外層積分：

為了求解此定積分，我們使用換元積分法。令：

將被積式拆分整理：

積分上下限不變（當 $x = 0 \implies u = 0$；當 $x \to \infty \implies u \to \infty$）。代入得：

利用伽瑪函數（Gamma Function）的定義 $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \,\mathrm{d}t$。此處 $z-1 = 1 \implies z = 2$：

由於當 $n$ 為正整數時， $\Gamma(n) = (n-1)!$，故 $\Gamma(2) = 1! = 1$。

結論： (1) 填入 $\displaystyle \frac{1}{6}$。