1. 本題包含兩小題：交錯級數的斂散性判定與冪級數收斂區間的求解。
2. (a) 判定 $\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n - \ln n}$ 的收斂性質：
   • 令 $a_n = \frac{\ln n}{n - \ln n} > 0$。
   • 絕對收斂性：考慮 $\sum a_n$。使用極限比較審斂法（LCT）與發散的調和級數 $\sum \frac{1}{n}$ 比較： $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n \ln n}{n - \ln n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{1 - \frac{\ln n}{n}} = \infty$ 因此 $\sum a_n$ 發散，此級數不絕對收斂。
   • 條件收斂性：使用交錯級數審斂法（AST）：
     1. $a_n > 0$。
     2. $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{\ln n}{n}}{1 - \frac{\ln n}{n}} = 0$。
     3. 單調性：令 $f(x) = \frac{\ln x}{x - \ln x}$，求導得 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{(x - \ln x)^2} < 0$ 對於 $x > e$。故 $a_n$ 當 $n \ge 3$ 時單調遞減。 因此級數收斂。綜上所述，級數為條件收斂 (converges conditionally)。
3. (b) 求解 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+4)^n}{n 3^n}$ 的收斂區間：
   • 使用比值審斂法（Ratio Test）： $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(x+4)^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}} \cdot \frac{n 3^n}{(x+4)^n} \right| = \frac{|x+4|}{3} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = \frac{|x+4|}{3}$
   • 級數收斂要求： $\frac{|x+4|}{3} < 1 \implies |x+4| < 3 \implies -7 < x < -1$ 收斂半徑 $R = 3$。
   • 端點測試：
     1. 當 $x = -1$ 時：級數為 $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$，此為調和級數，發散。
     2. 當 $x = -7$ 時：級數為 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$，為交錯調和級數，由 AST 知其收斂。
   • 因此，收斂的 $x$ 值範圍為 $[-7, -1)$。

(a) 判定級數 $\sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n - \ln n}$ 的收斂性

設 $a_n = \frac{\ln n}{n - \ln n}$。對於 $n \ge 2$，由於 $n > \ln n$，故 $a_n > 0$。

1. 測試絕對收斂性（級數 $\sum |a_n| = \sum a_n$）

我們使用極限比較審斂法（Limit Comparison Test），將 $a_n$ 與發散的 $p$-級數 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 進行比較：

由於 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} \ln n = \infty$，上式極限為：

因為極限值為 $\infty$ 且比較級數 $\sum \frac{1}{n}$ 發散，可知級數 $\sum\limits_{n=2}^\infty a_n$ 發散。 因此，原交錯級數不是絕對收斂。

2. 測試收斂性（交錯級數審斂法 AST）

我們檢驗交錯級數審斂法（Alternating Series Test）的三個條件：

1. 正值性：對所有 $n \ge 2$， $a_n > 0$。
2. 極限為 0： $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n - \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\ln n}{n}}{1 - \frac{\ln n}{n}} = \frac{0}{1 - 0} = 0$$
3. 單調遞減：我們定義相應的實函數： $$f(x) = \frac{\ln x}{x - \ln x} \quad (x > 1)$$ 對其求導： $$f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{x} \right)(x - \ln x) - (\ln x)\left( 1 - \frac{1}{x} \right)}{(x - \ln x)^2}$$ $$= \frac{1 - \frac{\ln x}{x} - \ln x + \frac{\ln x}{x}}{(x - \ln x)^2} = \frac{1 - \ln x}{(x - \ln x)^2}$$ 當 $x > e$（即 $n \ge 3$）時， $\ln x > 1 \implies 1 - \ln x < 0$，故 $f'(x) < 0$。 這說明數列 $\{a_n\}$ 自 $n = 3$ 起為單調遞減，即 $a_{n+1} \le a_n$。

依據交錯級數審斂法，級數 $\sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^n a_n$ 收斂。

綜合結論

因為該級數本身收斂，但其絕對值級數發散，故級數為條件收斂 (converges conditionally)。

(b) 求解級數 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x + 4)^n}{n 3^n}$ 的收斂 $x$ 範圍

我們使用比值審斂法（Ratio Test）來求收斂區間。令 $u_n = \frac{(x + 4)^n}{n 3^n}$：

根據比值審斂法：

1. 當 $\frac{|x+4|}{3} < 1 \implies |x+4| < 3$ 時，級數絕對收斂。 $$-3 < x + 4 < 3 \implies -7 < x < -1$$ 此時收斂半徑 $R = 3$。
2. 當 $|x+4| > 3$ 時，級數發散。

我們接著測試兩個邊界端點：

• 端點 1：當 $x = -1$ 時 代入級數得： $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1+4)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ 此為調和級數（$p=1$），為發散。
• 端點 2：當 $x = -7$ 時 代入級數得： $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-7+4)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$$ 此為交錯調和級數。因為滿足 AST的三個條件（正值、極限為 0、單調遞減），故此級數收斂。

綜上所述，使該級數收斂的所有 $x$ 值範圍為：