1. 本題求 $\iint_R \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}A$ 的值。
2. 由於邊界是圓且被積函數為 $\sqrt{x^2+y^2} = r$，最適合使用極座標變換。
3. 第一步：確定極座標下的邊界方程式：
   • 原點中心、半徑 2 的上半圓： $r = 2$ 且 $\theta \in [0, \pi]$。
   • 圓 $x^2 + (y-1)^2 = 1 \implies x^2 + y^2 - 2y = 0 \implies r^2 - 2r\sin\theta = 0 \implies r = 2\sin\theta$。
4. 第二步：描述積分區域 $R$：
   • 區域 $R$ 位於大圓 $r = 2$ 內部且在小圓 $r = 2\sin\theta$ 外部。
   • 因此，對於每個確定的角度 $\theta \in [0, \pi]$， $r$ 的範圍是 $2\sin\theta \le r \le 2$。
5. 第三步：利用 $y$ 軸對稱性簡化計算：
   • 被積函數 $\sqrt{x^2+y^2}$ 與區域 $R$ 皆對稱於 $y$ 軸（即對稱於 $\theta = \pi/2$）。
   • 故 $I = 2 \int_0^{\pi/2} \int_{2\sin\theta}^2 r \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}theta$。
6. 第四步：積分求解：
   • 內層積分： $\int_{2\sin\theta}^2 r^2 \,\mathrm{d}r = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{2\sin\theta}^2 = \frac{1}{3}(8 - 8\sin^3\theta)$。
   • 外層積分： $\frac{16}{3} \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^3\theta) \,\mathrm{d}\theta$。
   • 利用 Wallis 積分公式： $\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \,\mathrm{d}\theta = \frac{2}{3}$。
   • 最終結果： $\frac{16}{3} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right) = \frac{8\pi}{3} - \frac{32}{9}$。

給定二重積分為：

我們使用極座標變換（Polar Coordinates）：

1. 確定極座標下的積分區域 $R$

• 上半圓 $x^2 + y^2 \le 4$ ($y \ge 0$)：在極座標中為 $r \le 2$ 且 $\theta \in [0, \pi]$。
• 圓 $x^2 + (y-1)^2 = 1$ 的邊界方程式為： $$x^2 + y^2 - 2y = 0 \implies r^2 - 2r\sin\theta = 0 \implies r = 2\sin\theta$$

區域 $R$ 是在上半圓內部，且在小圓外部。因此極座標的範圍為：

2. 利用對稱性簡化計算

因為區域 $R$ 與被積函數 $r$ 關於 $y$ 軸（即 $\theta = \frac{\pi}{2}$）對稱，我們只計算第一象限的半邊區域（$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$）再乘以 2：

3. 計算累次積分

先計算內層關於 $r$ 的積分：

代回外層關於 $\theta$ 的積分：

第一項積分為：

第二項我們可以使用 Wallis 積分公式，或者直接展開 $\sin^3\theta = \sin\theta(1 - \cos^2\theta)$ 計算：

令 $u = \cos\theta \implies \mathrm{d}u = -\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$：

代回 $I$ 的表達式：

結論： 7. 填入 $\displaystyle \frac{8\pi}{3} - \frac{32}{9}$。