1. 本題要求三元函數 $f(x,y,z) = xyz$ 在點 $t=\pi/3$ 沿著空間曲線（螺旋線）速度方向的方向導數。
2. 方向導數計算公式： $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$ 其中 $\mathbf{u}$ 為給定方向的單位向量。
3. 第一步：求出點 $P$ 的座標： 將 $t = \pi/3$ 代入曲線方程式 $\mathbf{r}(t)$：
   • $x = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos\pi = -1$
   • $y = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin\pi = 0$
   • $z = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$ 因此切點為 $P = (-1, 0, \pi)$。
4. 第二步：求出該點處的速度向量（切向量）與單位方向向量 $\mathbf{u}$： 速度向量 $\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = -3\sin(3t)\mathbf{i} + 3\cos(3t)\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$。 代入 $t = \pi/3$： $\mathbf{v}(\pi/3) = -3\sin(\pi)\mathbf{i} + 3\cos(\pi)\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = -3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 其長度為 $|\mathbf{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。 單位方向向量： $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{-3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}}{3\sqrt{2}} = \langle 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle$
5. 第三步：計算 $P$ 點的梯度 $\nabla f(P)$： $\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z \rangle = \langle yz, xz, xy \rangle$ 代入 $P = (-1, 0, \pi)$： $\nabla f(P) = \langle 0, -\pi, 0 \rangle$
6. 第四步：進行點積計算： $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u} = \langle 0, -\pi, 0 \rangle \cdot \langle 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

1. 求出 $t = \pi/3$ 時的切點 $P$

將 $t = \frac{\pi}{3}$ 代入螺旋線方程式 $\mathbf{r}(t) = (\cos 3t)\mathbf{i} + (\sin 3t)\mathbf{j} + 3t\mathbf{k}$：

因此，點的直角座標為：

2. 求出該點處的單位方向向量 $\mathbf{u}$

速度向量為位置向量的導數：

代入 $t = \frac{\pi}{3}$：

速度向量的模長為：

因此，該方向的單位方向向量 $\mathbf{u}$ 為：

3. 計算 $P$ 點的梯度 $\nabla f(P)$

目標函數為 $f(x, y, z) = xyz$。其梯度為：

代入點 $P = (-1, 0, \pi)$：

4. 計算方向導數

函數 $f$ 在點 $P$ 沿著 $\mathbf{u}$ 方向的方向導數為：

結論： 5. 填入 $\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ （亦可寫為 $\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$）。