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112 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 4 題

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112學年度 · 112微積分A3/A4/A6 · 第 4 題

題目

Problem

一、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。

  1. Consider the region bounded by the graphs of y=ln⁡xy = \ln x, y=0y = 0, and x=ex = e. Find the volume of the solid formed by revolving the region about the xx-axis.

解答

解法一：圓盤法 (Disk Method)

思路

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  1. 本題要求由曲線 y=ln⁡xy = \ln x、直線 y=0y = 0（即 xx 軸）及 x=ex = e 圍成的區域，繞 xx 軸旋轉一周所產生的旋轉體體積。（與 A2 第 5 題相同）
  2. 該區域的 xx 範圍為：從交點 x=1x = 1 到 x=ex = e，即 x∈[1,e]x \in [1, e]。
  3. 旋轉體體積公式（圓盤法）： V=π∫1e(ln⁡x)2 dxV = \pi \int_1^e (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x
  4. 使用分部積分法可求出原函數為 x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2xx(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x。
  5. 代入上下限 11 與 ee 求解得體積為 π(e−2)\pi(e-2)。

答題過程

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旋轉區域由 y=ln⁡xy = \ln x， y=0y = 0（xx 軸）以及 x=ex = e 圍成。 首先求 y=ln⁡xy = \ln x 與 y=0y = 0 的交點：

ln⁡x=0  ⟹  x=1\ln x = 0 \implies x = 1

因此，積分的區間為 x∈[1,e]x \in [1, e]。

我們使用圓盤法（Disk Method）計算繞 xx 軸旋轉的體積 VV：

V=π∫1ey2 dx=π∫1e(ln⁡x)2 dxV = \pi \int_1^e y^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_1^e (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x

為了求出不定積分 ∫(ln⁡x)2 dx\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x，我們使用分部積分法。令：

u=(ln⁡x)2  ⟹  du=2ln⁡x⋅1x dxu = (\ln x)^2 \implies \mathrm{d}u = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x dv=dx  ⟹  v=x\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies v = x

根據分部積分公式 ∫u dv=uv−∫v du\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u：

∫(ln⁡x)2 dx=x(ln⁡x)2−∫x⋅(2ln⁡xx) dx=x(ln⁡x)2−2∫ln⁡x dx\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = x (\ln x)^2 - \int x \cdot \left( \frac{2\ln x}{x} \right) \,\mathrm{d}x = x (\ln x)^2 - 2 \int \ln x \,\mathrm{d}x

再對 ∫ln⁡x dx\int \ln x \,\mathrm{d}x 使用一次分部積分： 令 u1=ln⁡x  ⟹  du1=1x dxu_1 = \ln x \implies \mathrm{d}u_1 = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x； dv1=dx  ⟹  v1=x\mathrm{d}v_1 = \mathrm{d}x \implies v_1 = x。

∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−x\int \ln x \,\mathrm{d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = x \ln x - x

代回原式可得：

∫(ln⁡x)2 dx=x(ln⁡x)2−2(xln⁡x−x)=x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2x\int (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = x (\ln x)^2 - 2(x \ln x - x) = x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x

現在代入積分上下限 11 到 ee：

∫1e(ln⁡x)2 dx=[x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2x]1e\int_1^e (\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = \left[ x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x \right]_1^e =(e(ln⁡e)2−2eln⁡e+2e)−(1(ln⁡1)2−2(1)ln⁡1+2(1))= \left( e (\ln e)^2 - 2e \ln e + 2e \right) - \left( 1 (\ln 1)^2 - 2(1) \ln 1 + 2(1) \right)

由於 ln⁡e=1\ln e = 1 且 ln⁡1=0\ln 1 = 0：

=(e−2e+2e)−(0−0+2)=e−2= ( e - 2e + 2e ) - ( 0 - 0 + 2 ) = e - 2

因此，旋轉體體積為：

V=π(e−2)V = \pi (e - 2)

結論： 4. 填入 π(e−2)\displaystyle \pi(e - 2)。