1. 本題要求參數曲線的弧長。
2. 參數曲線弧長公式： $L = \int_a^b \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} \,\mathrm{d}t$
3. 第一步：求出 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$： $x(t) = \ln(\sec t + \tan t) - \sin t$ $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \sec t - \cos t$
4. 第二步：求出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$： $y(t) = \cos t \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -\sin t$
5. 第三步：計算被積式： $\left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2 = (\sec t - \cos t)^2 + (-\sin t)^2$ $= \sec^2 t - 2\sec t\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = \sec^2 t - 2(1) + 1 = \sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ 因此： $\mathrm{d}s = \sqrt{\tan^2 t}\,\mathrm{d}t = |\tan t|\,\mathrm{d}t$ 由於在 $t \in [0, \pi/3]$， $\tan t \ge 0$，故 $\mathrm{d}s = \tan t \,\mathrm{d}t$。
6. 第四步：積分計算弧長： $L = \int_0^{\pi/3} \tan t \,\mathrm{d}t = [-\ln|\cos t|]_0^{\pi/3} = -\ln(1/2) + \ln 1 = \ln 2$

給定參數曲線為：

參數曲線的弧長公式為：

我們分別計算導數：

1. 計算 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

我們知道 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\ln(\sec t + \tan t)] = \sec t$，所以：

2. 計算 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$

3. 計算被積項 $\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2$

展開並化簡：

由於 $\sec t \cos t = 1$ 且 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$：

4. 積分求弧長 $L$

在區間 $t \in [0, \pi/3]$ 內，正切函數 $\tan t \ge 0$，因此根號展開為：

故弧長為：

其原函數為 $-\ln|\cos t|$：

結論： 3. 填入 $\displaystyle \ln 2$。