1. 本題要求複合函數 $f(x) = e^{g(x)}$ 在 $x=-1$ 處的導數。
2. 根據連鎖律（Chain Rule）： $f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \implies f'(-1) = e^{g(-1)} \cdot g'(-1)$
3. 第一步：計算 $g(-1)$： $g(-1) = \tan^{-1}((-1)^2) + \int_1^{(-1)^2} \sec(t-1) \,\mathrm{d}t = \tan^{-1}(1) + \int_1^1 \sec(t-1) \,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$
4. 第二步：求 $g'(x)$： 根據微積分基本定理（Leibniz’s Rule / FTC）： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_1^{h(x)} w(t)\,\mathrm{d}t = w(h(x)) \cdot h'(x)$ 將其應用於 $g(x)$： $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [\tan^{-1}(x^2)] + \sec(x^2 - 1) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $= \frac{2x}{1 + (x^2)^2} + \sec(x^2 - 1) \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4} + 2x \sec(x^2 - 1)$
5. 第三步：計算 $g'(-1)$： $g'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^4} + 2(-1) \sec((-1)^2 - 1) = \frac{-2}{2} - 2 \sec(0) = -1 - 2 = -3$
6. 代回 $f'(-1) = e^{\pi/4} \cdot (-3) = -3e^{\pi/4}$。

給定函數為：

根據微分連鎖律（Chain Rule），對 $f(x)$ 求導得：

因此在 $x = -1$ 處的導數為：

我們分別計算 $g(-1)$ 與 $g'(-1)$：

1. 計算 $g(-1)$

將 $x = -1$ 代入 $g(x)$：

由於定積分的上下限相同，該積分值為 $0$：

2. 計算 $g'(-1)$

我們對 $g(x)$ 關於 $x$ 求導。 第一項使用 $\tan^{-1}(u)$ 求導公式，第二項使用微積分基本定理與連鎖律：

現在將 $x = -1$ 代入 $g'(x)$：

由於 $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = 1$：

3. 計算 $f'(-1)$

代回連鎖律公式：

結論： 2. 填入 $\displaystyle -3e^{\frac{\pi}{4}}$。