1. 本題要求連續二元函數 $f(x,y) = x^2+3y^2+2y$ 在閉區域 $D: x^2+y^2 \le 1$ 上的絕對最大值與最小值。
2. 根據極值定理，絕對極值只可能出現在： (1) 區域內部的臨界點（Critical points, $\nabla f = \mathbf{0}$）。 (2) 邊界曲線上的極值點（Boundary, $x^2+y^2 = 1$）。
3. 第一步：求區域內部的臨界點：
   • $f_x = 2x = 0 \implies x = 0$。
   • $f_y = 6y+2 = 0 \implies y = -1/3$。
   • 檢查是否在內部： $0^2 + (-1/3)^2 = 1/9 < 1$，符合。
   • 此處函數值： $f(0, -1/3) = 3(1/9) - 2/3 = -1/3$。
4. 第二步：分析邊界 $x^2+y^2 = 1$：
   • 在邊界上， $x^2 = 1-y^2$，且 $y$ 的範圍限制在 $[-1, 1]$。
   • 代入目標函數，化為 $y$ 的單變數函數 $g(y)$： $g(y) = (1-y^2) + 3y^2 + 2y = 2y^2 + 2y + 1 \quad (y \in [-1, 1])$
   • 求解 $g(y)$ 的極值：
     • 求導： $g'(y) = 4y + 2 = 0 \implies y = -1/2$。 此點在區間 $[-1, 1]$ 內，其對應的邊界點為 $(\pm\sqrt{3}/2, -1/2)$。 函數值： $g(-1/2) = 2(1/4) + 2(-1/2) + 1 = 1/2$。 (勘誤：書中此處因負號失誤，將 $2(-1/2)$ 誤算為 $+1$，得出 $5/2$ 的錯誤數值。我們在此予以修正。)
     • 端點值：
       • 當 $y = 1$ 時（點 $(0, 1)$）： $g(1) = 2(1)^2 + 2(1) + 1 = 5$。
       • 當 $y = -1$ 時（點 $(0, -1)$）： $g(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1$。
5. 第三步：比較所有候選點的函數值：
   • 候選值有： $-1/3$，$1/2$，$1$，$5$。
   • 絕對最大值為 $5$（出現在點 $(0, 1)$）。
   • 絕對最小值為 $-1/3$（出現在點 $(0, -1/3)$）。

根據有界閉區域絕對最值的求法，我們需要分別尋找區域內部的臨界點與邊界線上的極值候選點，最後進行數值大小比較。

第一部分：求區域內部（$x^2 + y^2 < 1$）的臨界點

我們對 $f(x, y) = x^2 + 3y^2 + 2y$ 求一階偏導，並令其為零：

解得唯一臨界點為：

驗證此點是否在單位圓盤內部：

此點確實位於內部。計算該點的函數值：

第二部分：分析邊界（$x^2 + y^2 = 1$）上的極值

在圓盤邊界上，滿足關係式 $x^2 + y^2 = 1 \implies x^2 = 1 - y^2$。 由於 $x^2 \ge 0$，這限制了 $y$ 的範圍必須滿足 $-1 \le y \le 1$。

我們將 $x^2 = 1 - y^2$ 代入原函數 $f(x,y)$，將其轉化為關於 $y$ 的單變數函數 $g(y)$：

我們尋找 $g(y)$ 在區間 $[-1, 1]$ 上的極值候選點：

1. 內部駐點： 對 $g(y)$ 求導並令其為零： $$g'(y) = 4y + 2 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$$ 此點在區間 $[-1, 1]$ 內部。代入求得對應函數值： $$g\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 + 1 = \frac{1}{2}$$
2. 區間端點：
   • 當 $y = 1$ 時（對應邊界點 $(0, 1)$）： $$g(1) = 2(1)^2 + 2(1) + 1 = 5$$
   • 當 $y = -1$ 時（對應邊界點 $(0, -1)$）： $$g(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1$$

第三部分：比較所有候選點的值以確定絕對最值

我們彙整所有的候選值：

1. 內部臨界點： $f(0, -1/3) = -\frac{1}{3}$。
2. 邊界駐點： $f(\pm\sqrt{3}/2, -1/2) = \frac{1}{2}$。
3. 邊界端點： $f(0, 1) = 5$ 以及 $f(0, -1) = 1$。

比較數值大小：

因此：

• 絕對最大值 (Absolute Maximum Value) 為 $5$，發生在點 $(0, 1)$。
• 絕對最小值 (Absolute Minimum Value) 為 $-\frac{1}{3}$，發生在點 $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$。

結論： 絕對最大值為 $5$，絕對最小值為 $-\frac{1}{3}$。